Re: [解題] 國中數學
※ 引述《humid0104 (小沙)》之銘言：
: 不好意思請問一下~~~有點小忘記了~~
: 如果有一個數除以三餘一~~除以五餘二~~除以七餘三~~
: 那請問這個數的最小數為多少呀~~
: 請問有什麼方法解呢~~如果用代數也解的出來嗎~~
: 不好意思~`請高手幫忙解答一下~~謝謝
類似這種題目，在中學時常稱為「韓信點兵」，
他題目精神要考的就是「最小公倍數」，
若把原題改一下數字：（這才是中學數學）
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韓信點兵，三人一數餘二，五人一數餘四，七人一數餘六
那部隊最少幾人？
設人數最少x人
x＝3u+2＝5v+4＝7w+6
x+1＝3u'＝5v'＝7w' 那便是求3、5、7的最小公倍數
[3,5,7]＝105 所以x＝104
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這正是一般中學生處理的問題，考的正是「最小公倍數」的應用與精神
不可否認這還是要用到一點小聰明，
但是改寫前的原題目並沒有這樣子的規律，
這不是最小公倍數運算就可以處理的，已變成初等數論的問題
原題的形式，我認為比較適合的有兩種學生，
小學生和高中資優生（例如競賽數學選手）
小學生可用窮舉法解題（訓練小學生的四則運算）
被三除之餘一 1,4,7,10,13........52....
被五除之餘二 2,7,12,17.......52....
被七除之餘三 3,10,17.....52......
比較聰明的學生，可能會自己發現Jennia大所提的...
由七開始找，而用其餘兩數檢查...會加快速度
這叫試誤法（try and error）
但對於一般中學生，考這種題目不適合，
因為窮舉法沒有考到最小公倍數的內涵（這是韓信點兵的精神）
要是我隨便出一題，若單用窮舉法（或試誤）恐怕一個禮拜都算不出來
麻煩的是，這也不是最小公倍數運算就可以處理的...再怎麼聰明也沒有用
高中資優生，乃至於奧數競賽選手，
可能受過一點初等數論的訓練，有能力處理同餘方程
那這樣的題目就適合了，並且也太簡單了點（數字太小，可用試誤法偷雞）
改一下題目：
99除之餘37，101除之餘44，199除之餘170，試求滿足條件的所有正整數？
解同餘方程，高手應該是在八分鐘之內可以解決，
答案是：1234567＋1989801n （n為非負整數）
已學過線性代數的大學生（這門課通常是大一大二的課程），
也可以解非齊性聯立一次不定方程來得到答案（原理與方法可參考後學上一篇文章）
我相信很多學過線代的朋友，
大概都不知道線性代數可以處理數論問題....
以上是我對於這類題目，所引申出來的想法，在這裡跟大家分享...
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PS：在我上一篇文章中，揭示了線性原理與Chinese Remainder Thm的關連
這幾乎點出了定理證明大致的輪廓，只要再配合輾轉相除法，
那便完整利用線代證明中國剩餘定理（這方法並非一般學習數論或離散的典型）
有興趣的版友可以自己嘗試看看，並不十分困難....
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