Re: [極限] 證明極限連續,可微

看板trans_math作者yhliu (老怪物)時間11年前 (2014/12/21 09:09)推噓1(1推 0噓 10→)

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※ 引述《skyghostlove (Chris)》之銘言： : 各位好: : (1) : 1 : g(x)= sin──, x≠0 : x : 0 , x＝0 : 則g(x)在x=0處是否連續?說明之. 要證明不連續, 可以由定義, 證明存在 ε>0, 使得對於任意 δ>0 都能找到 x 滿足 |x-0|<δ 且 |g(x)-g(0)| = |g(x)| ≧ ε 取 ε=1/2, 不難找出 x 滿足上述條件, 例如取 x = 1/[(k+1/2)π], 其中 k 是正整數, 無論 δ 取多少, 只要 k 夠大, 必能使 0<x<δ, 而 sin(1/x) = sin[(k+1/2)π] = ±1, 即 |g(x)| = 1 > ε. 另法是證明 lim_{x→0} sin(1/x) 不存在, 如此 g(x) 當場就不連續. 而要證明這點, 只要找到一個數列 {x_n} 收斂到 0, 但對應的數列 {g(x_n)} 不收斂. 因為如果 lim_{x→0} g(x) 存在, 任意非 0 而收斂到 0 的 {x_n} 必然使 lim_n g(x_n) = lim_{x→0} g(x). 這方法有一個更簡便的是取兩數列 {x_n}, {y_n}, 分別均非 0 而收斂到 0, 但 lim_n g(x_n) ≠ lim_n g(y_n). : (2) : 1 : f(x)= xsin── ,x≠0 : x : 0 ,x＝0 : show that f is continuous at 0 , but f is not differentiable at 0. : 剛碰到證明題,不知該如何下手? : 煩請高手解說. 一般初學者用夾擠定理做這題的 "連續" 子題, 可能會寫: ∵ |sin(1/x)|≦1 ∴ x≠0 時 -x ≦ f(x) ≦ x. 這樣寫疏忽了一件事實, 那就是 x 可能是負的. 正確地寫法是 -|x| ≦ f(x) ≦ |x|, 當 x→0 時 lim |x| = 0, 所以得 lim f(x) = 0. 至於 f(x) 在 0 不可微, 只要考慮導數定義式: f(x) - f(0) x sin(1/x) - 0 lim ------------- = lim ---------------- = lim sin(1/x) x→0 x - 0 x→0 x - 0 x→0 而最右一式已證其不存在, 故得證 f'(0) 不存在. -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 61.224.47.237 ※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/trans_math/M.1419124192.A.884.html

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yyc2008

12/23 17:48, , 1^F

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yhliu

01/05 09:17, , 2^F

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yhliu

01/05 09:18, , 3^F

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