[極限] 證明極限連續,可微

看板trans_math作者 (Chris)時間9年前 (2014/12/15 08:16), 編輯推噓2(2推 0噓 14→)
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各位好: (1) 1 g(x)= sin──, x≠0 x 0 , x＝0 則g(x)在x=0處是否連續?說明之. (2) 1 f(x)= xsin── ,x≠0 x 0 ,x＝0 show that f is continuous at 0 , but f is not differentiable at 0. 剛碰到證明題,不知該如何下手? 煩請高手解說. 另外一問,請問證明比較多的書籍,可否推薦? 謝謝. -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.37.66.64 ※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/trans_math/M.1418602568.A.4F3.html
推
12/15 10:46, , 1F
這兩題其實只是要你求極限，只要極限存在且函數值存
12/15 10:46, 1F
推
12/15 10:47, , 2F
在，又極限值等於函數值就是連續，至於可不可微可以
12/15 10:47, 2F
→
12/15 10:49, , 3F
直接計算其導函數定義的極限值是否存在
12/15 10:49, 3F
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12/15 11:02, , 4F
謝謝.這樣我知道怎麼寫了,剛碰到證明有點不知怎下手
12/15 11:02, 4F
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12/15 11:02, , 5F
謝謝解說
12/15 11:02, 5F
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12/15 17:06, , 6F
(1) 取 x(n) = 2/(nπ), 則 g(x(n)) 無極限, 因此
12/15 17:06, 6F
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12/15 17:07, , 7F
得證 x 逼近 0 時函數極限不存在, 當然不連續.
12/15 17:07, 7F
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12/15 17:07, , 8F
(2) 用夾擠定理可證 x 逼近 0 時函數極限存在且等於
12/15 17:07, 8F
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12/15 17:08, , 9F
x=0 時的函數值, 故連續. 至於不可微, 如前面網
12/15 17:08, 9F
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12/15 17:09, , 10F
友說的, 代入導數之定義式, 證明定義之極限不存
12/15 17:09, 10F
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12/15 17:09, , 11F
在.
12/15 17:09, 11F
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12/16 12:04, , 12F
所以依上述所說,只能用x(n)=2/nπ證明極限不存在,因
12/16 12:04, 12F
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12/16 12:05, , 13F
其值會在正負1擺動,所以不存在.觀念上了一課,感謝
12/16 12:05, 13F
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12/16 16:13, , 14F
2/nπ是一種取法，你也可以用其他方式，只要能夠顯
12/16 16:13, 14F
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12/16 16:13, , 15F
示在x->0時（不論你x怎麼取），極限非唯一就可以
12/16 16:13, 15F
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12/16 16:38, , 16F
懂了,謝謝幾位前輩指教
12/16 16:38, 16F
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