Re: [極限] 無窮小消項問題
※ 引述《qwsx51166 (bboyJ)》之銘言：
: 想請問極限的兩種情況我不太清楚
: 1 1 1
: 例1: ｌｉｍ｛---+ ---+ .... + --- ｝
: n->∞ n+1 n+2 n+n
: 這題雖然每項都接近０
: 但他有無限多項 所以不能都看成０
: 要用黎曼和求解
這樣說好了，單就上面那件事並不能說明什麼
比如你的例子極限是 log 2
1/(√n + 1) + 1/(√n + 2) + ...+ 1/(√n + n) 極限是 +∞
n
像這個 Σ (1/k+n^2) 極限就會跑到 0
k=1
所以重點在於這些項相加後可否被良好的控制
n
比如 | Σ (1/k+n^2) | < n/(1+n^2)
k=1
像這個右邊那項就會趨近於 0，
在這個例子這些"趨近於 0"的項相加就沒什麼影響。
: sin(x)
: 例2: ｌｉｍ｛--------｝如果用級數法展開
: x->0 x
: 2 4
: x X
: = ｌｉｍ｛1－---＋---+.....｝= 1
: x->0 3! 5!
: 為什麼用級數法後面那些無限項可以直接看成０?
: 請大大幫忙解惑 謝謝!!
一樣的道理，可用 remainder term 來解釋
想一下，為什麼 sin x 的 Maclaurin series 會等於它自己 ?
不就是 remainder term 趨近於零嗎
如果你是遇到直接給你一個級數的，或許可以試試以下作法 ?
以下以你的例子為例。 給定一 0 < ε < 1，
讓 |x| < ε，
n
| Σ (-1)^k [x^(2k)]/(2k+1)! |
k=1
∞
≦ Σ [ε^(2k)]/(2k+1)!
k=1
∞
< Σ ε^(2k)
k=1
= ε^2/(1-ε^2)
右邊可以任意小，因此極限是零。
總而言之，言而總之，就是比較審斂的概念 -
看相加之後能不能被一有良好性質的控制住。
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你現在感覺如何？感覺如何了！？
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