Re: [多變] Lagrange
原PO你好，你是初學微積分嗎？
這題其實不難，甚至也不需要用到Lagrange Multiplier就可以解了。
我這麼說吧，個人以為困難的地方在於初學時"正確"而且"完整"建立觀念。
個人分享一些當初學習時的心得與經驗，
不敢講我說得很對，但提出來供你做參考。
※ 引述《blak (緯緯)》之銘言：
: 題目:用lagrange求函數f(x,y)=xy受限於x^2+y^2=8,x>0,y>0的所有極值,解釋算出的極值
: 為最大值或最小值
: 我算出來(2,2),(-2,-2)題目說x>0,y>0所以(2,2)代入題目=4
: 請問要如何判斷4為最大或最小值?
1. 首先，先想想，什麼叫最大值？最小值？極大值？極小值？
既然叫"大"、叫"小"，就意味著是經過比較得到的結果。
依我看，你困擾的點在於，經過求解方法得到只有一個極值時，
我怎麼知道它是最大或最小？
然而，以這題來看，只有一個極值存在嗎？其實還有，只是你缺視了，
2. 即使，真的只有一個極值發生時，你又如何得知它是最大、最小值呢？
舉個例： y = x^2 - 2x + 3，我們知道 x = 1 時， y 有最小值 2。
如何知道的？用配方法呀，一階微分求極值點、二階微分求開口，
甚至算幾不等式、柯西不等式…等任何可應用的方法，
都能幫助找maxima,minima,extrema，且看各憑本事。
3. 再說Lagrange Multiplier方法，▽f = λ * ▽g，
聯立求解時，常常不是那麼地在意特徵乘數值 λ 。
若你練習的題目做多了，會發現λ值的大小與"+""-"符號，
似乎能猜知該點是極大值或是極小值。
而微積分課本也並不討論λ值與extrema的關連性。
於此，我們並不多做討論，有興趣的話不妨自行研究或多找題目練習。
: 麻煩大家了~謝謝
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: ◆ From: 118.168.129.208
: 推 beansop:它的限制條件是在一個半徑為8^(1/2)的圓 114.46.159.6 06/13 15:45
: → beansop:在第一象限中的區域，所以要討論邊界上 114.46.159.6 06/13 15:45
: → BaBi:討論邊界上和區域內.... 140.135.26.32 06/13 15:46
: → beansop:及圓內的極值發生點，所以你分兩個部份 114.46.159.6 06/13 15:46
: → BaBi:基本上就是求出所有臨界點, 在比較代入後大小 140.135.26.32 06/13 15:47
: → beansop:然後討論出來的值作比較，就OK了 114.46.159.6 06/13 15:48
: → BaBi:ㄜ, 插到b大了QQ 140.135.26.32 06/13 15:48
: → blak:還是不太懂..不知道可以麻煩寫算式? 118.168.129.208 06/13 15:57
: → blak:請問該怎麼列區域內的算式? 118.168.129.208 06/13 16:16
: → blak:最大值9,最小值0正確嗎? 118.168.129.208 06/13 16:56
: → blak:我用Lagrange算答案還是4.... 118.168.139.231 06/13 20:45
4. 開始解題：
依題意，我們先弄清楚目標函數、和限制函數。
目標函數： f(x,y) = x*y
限制函數： x^2 + y^2 = 8、 x > 0 、 y > 0
{依題意，限制函數為在xy平面上，x^2 + y^2 = 8，且 x > 0 , y > 0
為第一象限的四分之一圓弧曲線。
注意，題目並非x^2 + y^2 ≦ 8，所以並不包含圓內的區間}
極值發生的地方：(1)端點 (2)邊界上 {勿忘端點}
(1)端點：(x,y) = (2√2,0) 及 (0,2√2)
(2)邊界上：應用Lagrange Multiplier解得 (x,y) = (2,2)有一極值
代入 (2√2,0)、(0,2√2)、(2,2)求f(x,y)並比較大小，
得知最大值為 f(2,2) = 2*2 = 4
最小值為 f(2√2,0) = f(0,2√2) = 0
於此，作答即完成。
若你不放心 4 是否為最大值，就將限制函數x^2 + y^2 = 8參數化再
用單變數函數求極值的方法解看看。
若你能將題目轉化成解析幾何的意義進一步瞭解此題那又更好。
5. 補充：
若限制函數為：x^2 + y^2 ≦ 8、x>0、y>0
極值發生的地方：(1)端點 (2)邊界上 (3)區間內
(1)端點有三：(x,y) = (2√2,0)、(0,2√2)、(0,0)
(2)邊界有三：y=0時，0≦x≦2√2、
x=0時，0≦y≦2√2、
x^2 + y^2 = 8。
(3)區間內：解 df/dx = 0
df/dy = 0 之聯立方程式。
詳細的解答內容，就留給你自己發揮囉。
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◆ From: 124.9.196.6
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