Re: [積分] 一些積分和flux
※ 引述《rygb (疾風影)》之銘言:
: ※ 引述《berry17523 (straw)》之銘言:
: : 1 2
: : 1. ∫∫ y(4x^2+4y^2+1) dxdy
: : 0 0
: : 這題我用想說極座標做 但是整個過程變很醜
: : 請問我方法是對的嗎 還是有其他比較好的方法?
: 並不是每次看到 平方項 就要轉極座標
: 像這題 底面區域是長方形 (都是常數)
: 所以 直接積分 會比你換成極座標來的快
: (因為長方形在極座標下難以積分 要考慮很多函數的邊界狀況)
: : 4
: : 2. ∫ sinπ(x)^1/2 dx
: : 0
: 第二題不太明白你說的是..? 次方式在外面 還是在裡面
4 2
我猜你說的是∫sin(π√x)dx=2∫t*sin(πt)dt
0 0
接下來我相信你一定會做XD
(我剛剛算的結果-+是零)
: : 3. ∫∫e^(x+y) dydx
: : x^2+y^2≦1
: 不太確定 用極座標轉換下 和直接重積分 會發現卡住...
: 比較可能的是 用GREEN 定理 轉回線積分
: 可能還請別的大大幫忙解了
令x+y=u,x-y=v
1 u 2 2
原式=---∫∫e dudv=I,在u +v =2的區間
2
2 1 (x+y)√2 1 u√2 2 2 2 2
I =---∫∫e dxdy=---∫∫e dudv;x +y =1,u +v =1
2 4
好像還是湊不出來(我昨天想錯了,抱歉!)
用極座標表示I的話
1 2π cosθ 2
I=---∫ e secθ(1-secθ)dθ,(有一項sec θ的積分等於零)
2 0
2
1 2π cosθ 1-cos θ 2π cosθ
=---∫ e (secθ- -------)dθ,(把∫ e dtanθ做分部積分)
2 0 cosθ 0
1 2π cosθ
=---∫ cosθ e dθ
2 0
然後很不幸的這個積分Mathematica也積不出來XD
1-t^2
我試過令cosθ=-----的代換,換出來的結果也是Mathematica也不會積XD
1+t^2
老實講我也懶得用複變做
我用Green Thm亂猜的話也會得到和上面差不多的式子 囧
所以我建議剩沒幾天考試,還是放棄這題好了XD
: : 4. S be the plane z=3x+2 lies within the cylinder x^2+y^2=1 ,
: : find the flux of the vector F= 2yi+3zk out of S
: : 麻煩幫我解答 大感激
: Flux = ∫∫F‧n dS = ∫∫(9x+6-6y)dA ( 圓心為原點的圓 半徑一)
: F = (2y , 0 , 3z) ▽S = ( 3 , 0 , -1)
: dS cos(Θ) = dA ( S 的投影面)
: (3,0,-1)(0,0,k)
: cos (Θ) = -----------------
: √(10)
: 就差不多出來了
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