Re: [積分] 積不出來@@
※ 引述《midarmyman (midarmyman)》之銘言：
: √(a+bx) dx
: ∫-------------dx = 2√(a+bx) + a∫-----------
: x x√(a+bx)
: 書上寫用i.b.p.算出來的
: 好像不然 指點一下吧
: 謝謝
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我是這樣推測課本如何拆項，用 i.b.p. 變成此項:
令 u(x)、 v(x) 兩函數，使得:
√(a+bx)
uv = ________ and (∫udx)*v = 2√(a+bx)
x
兩式相除(消掉v)後得到: (以下為微分方程的內容)
(∫udx) = 2xu → u = 2u + 2xu'
→ 1/u du = -1/2x dx
→ ln｜u｜ = -1/2*ln｜x｜ (choose int. const. = 0)
→ u = 1/√x
(以上為微分方程的內容)
也就是說，課本是這樣拆解的：
√(a+bx) 1 √(ax+b)
∫ ________ dx = ∫ ____ * ________ dx
x √x √x
√(a+bx) -a/x^2
= 2√x * ________ - ∫ 2√x * _____________ dx
√x 2√[(ax+b)/x]
a
= 2√(a+bx) + ∫ _____________ dx
x√[(ax+b)]
不過這拆法有個致命的缺點
注意到課本把 x 拆成 √x * √x
若在求定積分時
積分區間有包含x<0
那這樣算答案可能會有誤
當然很多時候這樣算，定積分的值答案也會對
這可能是因為你在化簡的結果，那項"變因"又被你消掉了
只是你沒注意而已
或者是積分後的函數，其定義域會是以 ｜x｜ 來包含
所以是正是負就沒差了
有時候也會遇到積完後，其係數是 |b|*b 的型態
但你卻寫成 b^2 ，那這就是正負號考慮不周詳所致
順帶提一下～～
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另外看到 Honor 大所打的這個等式:
b
I = √(a+bx) - ∫ _________ dx + I
2√(a+bx)
一般算到這裡，就會直接把 I 消掉 (對我來說是XD)
而直接得到以下等式:
b
∫ _________ dx = √(a+bx) + C
2√(a+bx)
連用兩次 i.b.p. ，這想法還蠻有趣的XD
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