Re: [考古] 成功大學-極限
※ 引述《GLP (^__________^)》之銘言：
: Let f be differentiable for x>0 . Prove or disprove
: (1)If lim x->∞ f(x)=0 , then lim x->∞ f'(x)=0.
: (2)If lim x->0+ f(x)=∞, then lim x->0+ f'(x)=-∞.
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就 (1) 而言, 首先可想到在 x→∞ 方向 f(x) 偶而凸起
一些小丘. 這些小丘可能越來越低, 但其斜度並不變小.
依此想法建構反例不難, 只是可能難看. 因此, 接下來就
是建構形式比較簡單而有類似特性的反例.
就 (2) 而言,初看似乎可以成立; 但要著手證明就會發現
困難. 證明的瓶頸就是反例構造的源頭. 因此可以想到在
"f'(x)→-∞" 之曲線加一些起伏, 這些起伏當 x 愈近 0
愈劇烈使 "f'(x)→-∞" 不成立. sin(1/x) 或 cos(1/x)
具有這樣的效果.
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推
06/13 16:30, , 1F
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