Re: [微分] 有關極限唯一性的證明
※ 引述《TaiwanFlight (飛翔吧 ,台灣!!)》之銘言：
: ※ 引述《xylona (紅)》之銘言：
: : 要證明極限的唯一性，
: : 我問到了一個答案，本來想回家之後自己再想一想，
: : 卻還是一直沒有辦法明白…（我笨，嗚～）
: : 先設 lim x->c f(x)=L1 及 lim x->c f(x)=L2，然後證 L1=L2
: : ε > 0
: : 0 < |x-c| < δ1, |f(x)-L1| < ε/2, δ1 > 0
: : 0 < |x-c| < δ2, |f(x)-L2| < ε/2, δ2 > 0
: : 這裡就不懂了, 為什麼是ε/2而不是ε？除以2是怎麼來的？
: 此取ε/2只是未了證明的一個技巧,
: "正常"應該是這樣 : 0 < |x-c| < δ1, |f(x)-L1| < ε'
: 故必定有ε(取ε< 2ε') 使得 0 < |x-c| < δ1, |f(x)-L1| < ε/2 < ε'
: δ2時亦同
: : 令δ = min {δ1 , δ2 }
: : |L1-L2| = |L1-f(x)+f(x)-L2|≦|f(x)-L1|+|f(x)-L2| < ε/2 + ε/2= ε
: : 我想了很久，就是想不透為什麼推出↑這一行就能有以下的結論了…
: : 在網上有看到可用三角不等式推，但是我不知道怎麼推。囧
: d(x,y) ≦ d(x,z) + d(z,y) [d表距離]
: |L1-L2| ≦ |L1-f(x)| +|f(x)-L2| < ε/2 + ε/2= ε
: 這是基本的三角不等式的形式
: : L1-L2 = 0
: : L1 = L2
: : 會是因為δ已是最小值，所以兩個ε/2可以在|L1-L2|時相減所以才等於0嗎？
: 因為 for each ε> 0
: |L1-L2| ≦ε iff L1 = L2 (iff = if and only if)
: 這是證明 L1 = L2 的一種技巧
: 不需要證明 x - y = 0才說他們兩個相等, 只需要說
: for each ε> 0 , y ≦ x+ε iff x = y
這個肯定是錯的 XD , y < x + ε for any ε > 0 implies y ≦ x
譬如 y = -1 , x = 0 . y < x + ε 對任意 ε > 0 , 並沒有 y = x
上面會對是因為有 0≦|L1-L2| 恆成立 , 且 |L1-L2|≦0
才會有 L1 = L2
: : 可是如果這樣的話好像又怪怪的。
: : 希望板上的大大能指導一下，
: : 下次微積分的課還要五天以後…很難忍到那時再問orz
: : 拜託了！m(_ _)m
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10/30 22:23, , 1F
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10/31 17:05, , 2F
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