Re: [微分] 不等式
※ 引述《t0127754 (阿彥)》之銘言：
: Let f be a real-valued differentiable function on R
: s.t f'(x)>f(x) for all real number x.
: Assume that f(0)=0 show that f(x)>0 for all x >0
試試看反證法
以下是大致的做法
假設並非全部>0的x均使f(x)>0
f(0)=0,f'(0)> f(0) = 0
因為f'(0) > 0
在x=0處的近傍可找到正值x''使得f(x'') > 0
而我們也可以找到最小的正值x'使得f(x') = 0
由均值定理可以知道我們必可找到一個介於x'與x''之間的數c
f(x')-f(x'')
f'(c) = ---------------- < 0
x' - x''
但是f(c)>0
而這違背f'(x)>f(x) for all real number x
所以矛盾
=>原命題得證
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 122.124.98.222
※ 編輯: Honor1984 來自: 122.124.98.222 (07/08 06:06)
討論串 (同標題文章)