Re: [問題] 100公尺長隊伍
※ 引述《homeik (王者之路)》之銘言：
: 借這個題目剛好來問一下~
: 1.
: 帕索在新訓中心當排長，每天都要帶部隊跑三千公尺，
: 有一天帕索覺得每天跟新兵這樣跑實在沒什麼挑戰性，
: 所以他決定在部隊跑的時候就繞著部隊跑。
: 部隊是個60公尺乘20公尺的長方形，
: 為了方便計算起見，假設帕索在跑的時候可以緊貼著部隊跑，
: --也就是說，若部隊靜止不動，帕索繞一圈只要跑160公尺[(60+20)X2]
: 這一天部隊沿著直線跑完三千公尺後，帕索剛好繞了30圈，
: 那麼請問帕索跑了多長的距離？
: 這一題我覺得可能再加個條件比較好算，
: 假設當帕索跑二十公尺那一段時，部隊就靜止不動~
這個條件會把題目過份簡化...
以下先把這個條件扔掉來計算
總之帕索繞一圈之後部隊跑了 100 公尺 (3000/30 = 100)
設帕索速度是部隊的 k 倍
分四邊計算:
(1) 同向長邊: 等於是以 k 倍速度追趕前方 60 公尺的人
因此跑完時帕索跑了 60k/(k-1) 部隊跑了 60/(k-1)
(2) 對向長邊: 等於是以 k 倍速度對向會面
因此跑完時帕索跑了 60k/(k+1) 部隊跑了 60/(k+1)
(3) 短邊: (不分方向原因是對稱)
看圖:
部隊 |‵、 帕索路線
路線 | ‵、
|￣￣￣￣|
| 部隊 |
帕索的路徑是直角三角形的斜邊
部隊的路線是左邊的直角邊 斜邊長為此邊的 k 倍
而下方的直角邊是 20 公尺 故由畢氏定理知左邊直角邊的 √(k^2-1) 倍為 20
即左邊直角邊(部隊跑的距離)為 20/√(k^2-1)
斜邊(帕索跑的距離)為 20k/√(k^2-1)
那麼全部部隊的距離加起來是 100
所以 60/(k+1) + 60/(k-1) + 2*20/√(k^2-1) = 100
以數值方法可解得 k≒2.039 (取 k>1 的解；題目顯然有 k>1 的假設)
因此最終帕索在部隊跑完三千後共跑了 3000*2.039 = 6117 公尺
(比較: 若加上這個條件 則可以發現上述方程的第三項會消失
這樣解出來的 k 值為 (3+√34)/5≒1.766
即總距離約為 3000*1.766 = 5298 公尺 差了非常多...
況且這等於是部隊跑步是跑跑停停的總感覺不大對 = =a)
: 2.
: 又一天帕索跟企鵝靈聊起了這件事，
: 赫然發現原來兩人都在做同樣的事，而興起了比較的念頭。
: 帕索：我每次帶隊跑完三千後可以繞部隊15圈，你只能繞12圈，所以我比較厲害！
: 企鵝：但是我的部隊跑完三千只需要12分鍾，你們跑完要15分鐘ㄟ~~~
: 帕索：......
: 那麼請問帕索跟企鵝靈誰跑得比較遠？
從頭再看一次上面的計算就知道了
上面的計算完全不需要考慮到所花時間
所以列出來的方程一定是長這樣:
部隊長度/(k+1) + 部隊長度/(k-1) + 2*部隊寬度/√(k^2-1) = 跑一圈後部隊行進長度
由於 k 全部都在分母 因此分子固定的情況下 k 越大 等號右邊會越小
因此可以跑比較多圈的帕索等號右邊比較小 所以帕索的 k 比較大
因此總距離帕索比企鵝長
(數據驗證: 以部隊長度 = 60, 部隊寬度 = 20 來計算
右邊是 200 = 3000 / 15 時 k≒1.4388
右邊是 250 = 3000 / 12 時 k≒1.335
所以總距離前者約為 4316.4 公尺, 後者約為 4005 公尺
但有趣的是兩人的速度卻是後者較快
前者速度為 287.76 公尺/分鐘, 後者速度為 333.75 公尺/分鐘)
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