Re: [請益] 有沒有是自反但不是完全自反的關係?
※ 引述《gooogle79 (北風亂 夜未央)》之銘言：
: 以下"存在"皆以"E"表示
: "所有x"以"(x)"表示
: 完全自反：(x)Rxx
: 自反 ：(x)(Ey)((Rxy v Ryx)--> Rxx)
: 已知任何一關係若為完全自反則有自反關係，今欲求一關係，其
: 具有自反性質但不具有完全自反性質？
: -------------------------------------------------------------------------
: 我問彭老師，老師的解答是"屬於"：
: 「屬於」：每個集合或者屬於某個集合，或者有個集合屬於它，但沒有任何集合屬於自己
: 坦白說我看不太懂他的回答，同時也想知道有無其他例子，因此來版上請教各位大大
: ＞＜～～感激!!!
我懷疑你的「自反」是不是給錯定義了。
因為按照這個定義, 任何關係都會是「自反」。
原因很簡單, 對任何關係R, 以及對任意的x, 我們都有 Rxx -> Rxx
因此我們有 (Rxx v Rxx) -> Rxx,
而因此 (Ey)[(Rxy v Ryx) -> Rxx], 而一般化之後得到
(x)(Ey)[(Rxy v Ryx)--> Rxx]。
所以只要任何不是完全自反的的關係就是
「具有自反性質但不具有完全自反性質」了。
我猜你想講的「自反」應該是 quasi-reflexive,
它是指一個關係滿足 (x)[ (Ey)(Rxy v Ryx) -> Rxx]
(注意這裡的 (Ey) 的 scope 和你給的不一樣),
這種 quasi-refexive 的意思, 是說任何東西, 只要有某個東西與他R有的關係,
那麼它就自己和自己有 R 的關係。
quasi-reflexive but NOT reflexive 的例子有很多, 只要你有孤立點就行,
例如 wiki 上面的 'has the same limit'
http://en.wikipedia.org/wiki/Reflexive_relation
如果覺得這例子太複雜, 那不妨考慮類似的 Rxy := x 與 y 正在讀同一所學校。
因為不是每個人都在學校裡讀書, 所以 R 不是 reflexive,
但只要 x 有和任何人讀同一所學校, 他就至少和自己是讀同一所學校,
所以它是 quasi-reflexive。
事實上更簡單的例子可以舉 quasi-reflexive and irreflexive 同時成立的,
也就是 empty relation。
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※ 編輯: MathTurtle 來自: 86.27.178.7 (08/08 20:53)
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