Re: 此三角形包含原點的機率??
※ 引述《salami (史萊姆)》之銘言：
: ※ 引述《salami (史萊姆)》之銘言：
: : 其實我們可以不一定要用到微積分
: : 也能夠解的
: : 雖然機率問題用積分來解比較正式
: : 我原本是這樣想的
: : 如果考慮臨界情形 必然是ABC三點形成一個直角三角形
: : 且BC為直徑 角A為直角
: : 那接下來如果角A變為鈍角 則圓心在三角形ABC外
: : 後來我想說 鈍角銳角的機率若為一半
: : 那機率就是1/2 不過這當然疏忽了
: 接下來考慮角A為銳角的部分
: 那麼先考慮其中一種情壯츊: 也就是圓心在三角形ABC內部時
: 此時角A 角B 角C 皆為銳角
: 此時必可以將其中一點（如B）作對稱
: 形成兩銳角一鈍角的情形
: 也就是說 這裡有一半的機率 會在內部
: 另一半的機率則在外部
: 所以是1/2 * 1/2 = 1/4
試著用比較像數學的方式來說明
先取一點A （可以想像 圓心O在(0，0) A點在(R，0) 不過應該不是很必要 ）
那麼對任一點B在圓周上 必可取一點C" 使得角BAC"為直角 線段BC"為直徑
（ABC三點不重合）
那麼 可以取一點C在圓周上
則C點在弧BAC"上 或在弧BC"上（A的另一側）
機率是相同的
i) 若C點在弧BAC"上 則圓心O三角形ABC內
ii) 若C點在弧BC"上 則
必可找一點D在弧BC"上 使得 角DOB＝角COC" （其實就是線對稱於直徑BC"的中垂線）
此時 若圓心在三角形ABC內 則圓心必在三角形ABD外
反之亦然
=> 故可知 若C點在弧BC"上 則有一半的機率 會使得圓心O在三角形內
另一半機率 圓心O在三角形ABC外
iii) 由 i ii
圓心O在三角形ABC內的機率為 1/2 * 1/2 ＝ 1/4 Q.E.D.
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◆ From: 203.64.26.44
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