Re: [問題]來自常態的變異數估計式的MSE
X1,...Xn iid~N(μ,σ^2) μ,σ^2皆未知待估計
暫且假設σ^2>0。
S1^2=自由度修正的σ^2估計量
S2^2=σ^2mle
由卡方分布得知：(證明省略請自己補充)
E(S1^2)=σ^2
E(S2^2)=(n-1)σ^2/n
Var(S1^2)=2σ^4/(n-1)
Var(S2^2)=2(n-1)σ^4/n^2
E[(Si^2-σ^2)^2]=E[(Si^2)^2]-2σ^2E(Si^2)+E[(σ^2)^2], i=1,2
且已知Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2
∴E[(S1^2-σ^2)^2]={Var(S1^2)+σ^4}-2σ^4+σ^4
=2σ^4/(n-1)
E[(S2^2-σ^2)^2]={Var(S2^2)+[E(S2^2)]^2}-2σ^2E(S2^2)+σ^4
=σ^4(2n-1)/n^2
∵2/(n-1) - (2n-1)/n^2
=(3n-1)/[n^2(n-1)]
當n>=2時(此時自由度修正的估計量才會有意義)，
(3n-1)/[n^2(n-1)]>0
故得知E[(S1^2-σ^2)^2]-E[(S2^2-σ^2)^2]>0
E[(S1^2-σ^2)^2]>E[(S2^2-σ^2)^2]
※ 引述《xxxxxxxx ( 一切重新開始)》之銘言：
: 先附上題目
: http://wwwc.moex.gov.tw/ExamQuesFiles/Question/091/013312300.pdf
: 試卷中的第19題 先說官方的答案為A
: 我的問題如下
: 如果我的理解沒錯的話，第二個估計式非不偏估計
: 那麼他要問的b應該不是要求Var而是MSE才對
: 依照這個邏輯去解，a和b的大小要n而定
: 但答案是a>b
: 如果題目只是單純比較兩個估計式的Var，
: 是OK的...可是我無法說服自己的眼睛
: 我看到的明明是問求E[(S1^2-sigma^2)^2]
: S1的期望值不等於sigma^2
: 所以E[(S1^2-sigma^2)^2]不等於Var[S1^2]不是嗎
: 希望有人看的懂我的疑惑
: 到底我哪邊想錯了?
: 國考的答案不太可能有問題
: 答案有錯的話早就一堆人寫信去問了
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推
03/13 15:29, , 1F
03/13 15:29, 1F
已更正筆誤。
※ 編輯: anovachen 來自: 1.173.165.68 (03/13 15:57)
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