[問題]關於moment-generating function

看板Statistics作者 (hugh)時間18年前 (2008/01/03 21:22), 編輯推噓4(4推 0噓 12→)
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　wackerly書上有提到一段說 　假設Y1 Y2獨立　U=Y1+Y2 則Mu(t)=My1(t)*My2(t) 註:M表moment generating function 我的疑問是這個性質是否可逆？ 　意即若Mu(t)=My1(t)*My2(t) 其中U=Y1+Y2 可否說Y1與Y2獨立呢？ 　我是在作wackerly習題5.111時想到的 　題目是問 若Y1 Y2獨立且各為normal u1 u2 variance相同 　則試證U1=Y1+Y2與U2=Y1-Y2為獨立且為二元常態 　獨立我是想到用moment來證......但是不確定上述性質是否可逆?! ２元常態我就沒法子了 請有能者幫忙解答一下吧！ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.119.204.48
推
01/03 23:27, , 1F
不會相等!獨立和不相關是不同的。try COV(x,y)=0
01/03 23:27, 1F
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01/03 23:51, , 2F
不會相等?是指不可逆嗎? 另外,就算cov=0,要怎麼證明獨立呢
01/03 23:51, 2F
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01/03 23:52, , 3F
除非先證出2元常態~不然沒辦法光cov=0就算獨立不是嗎?
01/03 23:52, 3F
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01/04 00:28, , 4F
算出來了~用jacobian先弄出2元常態~再用cov=0證明獨立!
01/04 00:28, 4F
推
01/04 13:18, , 5F
先算出f(u,v)，再看能不能把f(u,v)拆成g(u)*h(v)
01/04 13:18, 5F
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01/04 13:20, , 6F
可以拆（找的到g跟h）就是獨立啦...
01/04 13:20, 6F
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01/04 14:09, , 7F
可以拆啊~不過光算出2元常態就蠻累了~拆開不如cov=0容易
01/04 14:09, 7F
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01/04 14:12, , 8F
cov(U1,U2)=EU1U2-EU1EU2=EY1^2-EY2^2-(EY1)^2+(EY2)^2=0
01/04 14:12, 8F
推
01/04 16:20, , 9F
我只是說不可逆。若獨立E(XY)=E(X)E(Y)，所以COV(X,Y)=0
01/04 16:20, 9F
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01/04 16:21, , 10F
反過來E(XY)=E(X)E(Y)，並無法證明X,Y獨立。
01/04 16:21, 10F
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01/04 16:22, , 11F
二元常態的CASE，比較簡單的作法就是証COV(X,Y)=0
01/04 16:22, 11F
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01/04 16:23, , 12F
証完之後，把結果代入f(x,y)=f(x)*f(y) for all x,y
01/04 16:23, 12F
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01/04 16:25, , 13F
考試最好用變數轉換証明f(x,y)=f(x)*f(y) for all x,y
01/04 16:25, 13F
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01/04 22:20, , 14F
dick大的方法應該是適用在已知2元常態的情況下吧?!
01/04 22:20, 14F
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01/04 22:22, , 15F
所以到頭來還是要先弄出2元常態~不然甚麼都免談~!.!
01/04 22:22, 15F
推
01/05 02:03, , 16F
2元常態可以用任意線性轉換後還是單變數常態來證
01/05 02:03, 16F
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