Re: [問題] log GAMMA的期望值以及變異數
※ 引述《mangogogo (ka)》之銘言：
: ※ [本文轉錄自 Math 看板]
: 作者: mangogogo (ka) 看板: Math
: 標題: [統計]
: 時間: Wed Jan 18 22:07:00 2006
: X->Γ(α,β)
: 請問logX 之期望值與變異數
利用指數族的性質 :
k
f(x|Θ) =h(x)c(Θ)Exp{ΣWi(Θ)．Ti(x)}
i=1
k dWi(Θ) d
則 E(Σ--------- ．Ti(X) ) = - ------- Log c(Θ)
i=1 dθj dθj
k dWi(Θ) d^2 k d^2 Wi(Θ)
Var( Σ ---------- ．Ti(X) ) = - --------Log c(Θ)- E(Σ ----------．Ti(X))
i=1 dθj dθj^2 i=1 dθj^2
k
第一個性質證明 : ∫h(x)c(Θ)Exp{ΣWi(Θ)．Ti(x)} dx = 1
i=1
d G'(x)
將上式兩邊皆對θ微分, 其中會使用到 --- Log G(x) = -------
dx G(x)
第二個性質證明 : 對上式兩邊皆對θ微分兩次 , 其中會使用到
d^2 G"(x) G'(x)
----- Log G(x) = ------- - ( ------- )^2
dx^2 G(x) G(x)
所以這一題的 E(Log X)的解法
1 x
let X~Γ(α,β) => f(x|α,β) = ------------- Exp{(α-1)．Log x - --- }
Γ(α)．β^α β
1 1
=> c(Θ) = ------------- , W1(Θ) = α-1 , W2(Θ)= - ---
Γ(α)．β^α β
T1(x) = Log x , T2(x)= x , h(x)=1
利用性質一.
k dWi(Θ) d
E(Σ--------- ．Ti(X))= - ------- Log c(Θ)
i=1 dα dα
d
=> E(Log X) = - --- { - Log (Γ(α) ) - α Logβ }
dα
Γ'(α)
= ---------- + Logβ
Γ(α)
Var(Log X) 應該也是可以借用第二個性質去做...所以第二題我就沒去做了
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