Re: [問題] 關於markov的first passage time
※ 引述《casinokuang.bbs@ptt.cc (研究生難當@@)》之銘言：
> ※ 引述《yhliu.bbs@bbs.wretch.cc (老怪物)》之銘言：
> : 令可能態為 0,1,...,N. 其中 0 與 N 是吸收態.
> : 本例可能態 -4,...,4 只是做個平移就是, 與解題並沒甚
> : 麼重要影響.
> : 令 M(k) 表示在狀態 k 時,平均還要幾步會走到某個吸收
> : 態. 又令 +1 的機率是 p. 則
> : M(0) = 0 = M(N)
> : M(k) = 1 + p M(k+1) + (1-p)M(k-1), k=1,...,N-1
pM(k+1)-M(k)+(1-p)M(k-1) = -1, k=1,...,N-1
M(0)=M(N)=0
上列二階常係數線性差分方程解法如同微分方程, 考慮其
特徵方程式:
pt^2 - t + (1-p) = 0
<==> t = 1 or (1-p)/p
故齊次方程 pM(k+1)-M(k)+(1-p)M(k-1) = 0 之通解為
M(k) = C1 + C2 [(1-p)/p]^k
而原方程之特解 (因已有 t=1 這根) 為 Ak:
pA(k+1)-Ak+(1-p)A(k-1) = -1
解得 A. 故方程式通解
M(k) = C1 + Ak + C2 [(1-p)/p]^k, k=1,...,N-1
將它擴充至 k=0,N, 再代入 M(0)=0=M(N), 決定 C1, C2.
> : 則
> : p(M(k+1)-M(k)) = (1-p)(M(k)-M(k-1)) - 1,
> : k=1,...,N-1
令 D(k)=M(k+1)-M(k), k=0,1,...,N-1.
pD(k+1) = (1-p)D(k) - 1, k=0,1,...,N-2
or D(k+1) - rD(k) = -(1/p) , k=0,1,...,N-2,
where r=(1-p)/p
即
D(k+1) - r D(k) = -(1/p)
r D(k) - r^2 D(k-1) = -r(1/p)
r^2 D(k-1) - r^3 D(k-2) = - r^2(1/p)
:
:
據此解得 D(k) 以 D(0)=M(1)-M(0)=M(1) 表示。
再由
M(k+1) - M(k) = D(k), k=0,1,...,N-1
解得 M(k), k=1,...,N, 以 M(0)=0 及諸 D(k) 表示.
再代入 M(N)=0, 解得 M(1). 所有 M(k), k = 0,1,...,N,
於是都由 k 唯一決定。
> : 可以用差分方程解法或代入消去的程序來解.
> 我用代入消去法,做到最後也只做到M(K)可以以用M(1)來取代 ,k=2,........N-1
> 這樣看來似乎是還少一個條件,否則是解不出來~
> 感謝Y大的指導~
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夫兵者不祥之器物或惡之故有道者不處君子居則貴左用兵則貴右兵者不祥之器非君子
之器不得已而用之恬淡為上勝而不美而美之者是樂殺人夫樂殺人者則不可得志於天下
矣吉事尚左凶事尚右偏將軍居左上將軍居右言以喪禮處之殺人之眾以哀悲泣之戰勝以
喪禮處之道常無名樸雖小天下莫能臣侯王若能守之萬物將自賓天地相合以降甘露民莫
之令而自均始制有名名亦既有夫亦將知止知止可以不殆譬道之在天 163.15.188.87海
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