Re: Laplacian in Spherical Coordinate
想請教一下
r,θ,z座標的旋度
其中
︱(e_r) r(e_θ) (e_z)︱ (e_r)為r方向單位向量
︱ ︱ (e_θ)為θ方向單位向量
1 ︱ P P P ︱ (e_z)為z方向單位向量
Curl(V) = ---︱---- ---- ---- ︱
r ︱ Pr Pθ Pz ︱
︱ ︱
︱(V_r) r(V_θ) (V_z)︱
是否也有相似的方法可以直觀的推導出來
※ 引述《caseypie (吟遊詩人)》之銘言：
: 3. 接著來導散度：
: 散度的定義，就是一個向量場，於空間中一點的向外發散量
: 直觀起見，先求一小量空間的發散量，則此發散量必定等於梯度乘以該小量空間
: 極座標下，小量空間為：
: dr．rdθ．rsinθdφ = (r^2)sinθdrdθdφ
: 此小量空間有六個面，分三組，分別為：
: (1)法向量±r方向 ： rdθ．rsinθdφ = (r^2)sinθdθdφ
: (2)法向量±θ方向： dr．rsinθdφ = rsinθdrdφ
: (3)法向量±φ方向： dr．rdθ = rdrdθ
: 所以，某向量（A_r , A_θ , A_φ），沿著這三個方向的發散量分別為：
: ±F_r = ±(A_r)(r^2)sinθdθdφ , ±r 方向
: ±F_θ = ±(A_θ)rsinθdrdφ , ±θ方向
: ±F_φ = ±(A_φ)rdrdθ , ±φ方向
: 但是，以±r方向方向為例，兩個平面之間又有dr的差別，因此發散量又有變化
: 所以，整個小量空間的總發散量為：
: (-F_r) + (F_r + d(F_r ))
: + (-F_θ)+ (F_θ+ d(F_θ))
: + (-F_φ)+ (F_φ+ d(F_φ))
: = d(F_r ) + d(F_θ) + d(F_φ)
: P((A_r)(r^2)) P((A_θ)sinθ) P(A_φ)
: = sinθdθdφ---------------dr + rdrdφ---------------- + rdrdθ---------
: Pr Pθ Pφ
: 1 P((A_r)(r^2)) 1 P((A_θ)sinθ) 1 P(A_φ)
: = {----.--------------- + ------.---------------- + ------.---------}．dτ
: r^2 Pr rsinθ Pθ rsinθ Pφ
: = div(A)．dτ
: 礙於空間，dτ = (r^2)sinθdrdθdφ即為小量空間
: 所以div(A)
: 1 P((A_r)(r^2)) 1 P((A_θ)sinθ) 1 P(A_φ)
: = ----.--------------- + ------.---------------- + ------.---------
: r^2 Pr rsinθ Pθ rsinθ Pφ
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◆ From: 114.34.101.26
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推
09/23 09:49, , 4F
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