Re: Laplacian in Spherical Coordinate

看板Physics作者caseypie (吟遊詩人)時間13年前 (2010/12/19 20:41)推噓17(17推 0噓 31→)

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那就開始吧，以下參照費曼物理學講義第二冊第三章（吧），從定義直接來： 1. Laplacian = 對某純量場先做梯度再做散度我知道靜磁學裡就有個向量位的Laplacian的公式不過課本也說了那個只有在直角座標下才能用，本質上還是對向量場的純量分量作用總之，根據這個定義，只要分別知道極座標的散度和梯度的形式再疊合起來，就能輕易地得到Laplacian 2. 所以先由純量場在空間中的變化量導出梯度：極座標下，小量向量線段單元是表示成： dl = (dr, rdθ, rsinθdφ) 上式的三個方向當然是r,θ,φ方向所以純量場f在空間中的變化量，就是f沿著這三個小量的變化量：（以下以P表示偏微分partial之意） P f P f P f df = -----.dr + -----.dθ + -----.dφ P r Pθ Pφ P f P f P f = -----.dr + --------.rdθ + -----------.rsinθdφ P r r Pθ rsinθPφ = (Pf/Pr, (1/r)(Pf/Pθ), (1/rsinθ)(Pf/Pφ) )．(dr, rdθ, rsinθdφ) = grad(f)．dl 所以grad(f) = (Pf/Pr, (1/r)(Pf/Pθ), (1/rsinθ)(Pf/Pφ) ) 事實上這個公式很簡單，所以應該很多人早就背起來了 3. 接著來導散度：散度的定義，就是一個向量場，於空間中一點的向外發散量直觀起見，先求一小量空間的發散量，則此發散量必定等於梯度乘以該小量空間極座標下，小量空間為： dr．rdθ．rsinθdφ = (r^2)sinθdrdθdφ 此小量空間有六個面，分三組，分別為： (1)法向量±r方向： rdθ．rsinθdφ = (r^2)sinθdθdφ (2)法向量±θ方向： dr．rsinθdφ = rsinθdrdφ (3)法向量±φ方向： dr．rdθ = rdrdθ 所以，某向量（A_r , A_θ , A_φ），沿著這三個方向的發散量分別為： ±F_r = ±(A_r)(r^2)sinθdθdφ , ±r 方向 ±F_θ = ±(A_θ)rsinθdrdφ , ±θ方向 ±F_φ = ±(A_φ)rdrdθ , ±φ方向但是，以±r方向方向為例，兩個平面之間又有dr的差別，因此發散量又有變化所以，整個小量空間的總發散量為： (-F_r) + (F_r + d(F_r )) + (-F_θ)+ (F_θ+ d(F_θ)) + (-F_φ)+ (F_φ+ d(F_φ)) = d(F_r ) + d(F_θ) + d(F_φ) P((A_r)(r^2)) P((A_θ)sinθ) P(A_φ) = sinθdθdφ---------------dr + rdrdφ---------------- + rdrdθ--------- Pr Pθ Pφ 1 P((A_r)(r^2)) 1 P((A_θ)sinθ) 1 P(A_φ) = {----.--------------- + ------.---------------- + ------.---------}．dτ r^2 Pr rsinθ Pθ rsinθ Pφ = div(A)．dτ 礙於空間，dτ = (r^2)sinθdrdθdφ即為小量空間所以div(A) 1 P((A_r)(r^2)) 1 P((A_θ)sinθ) 1 P(A_φ) = ----.--------------- + ------.---------------- + ------.--------- r^2 Pr rsinθ Pθ rsinθ Pφ 一般人要記起來有困難的應該是這個公式不過依照上述步驟就可以非常簡單地要用時再推導就行了 4.既然極座標下的梯度和散度公式都有了，那麼Laplacian就很簡單啦只要把梯度的三個分量丟入散度公式中的向量三分量，就能合併兩者得到Laplacian了 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 59.113.73.84

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Vulpix

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