Re: [請益] 慣性定律是牛頓第二定律的特例?
※ 引述《chendaolong (JoJo A Go!Go!)》之銘言：
: 關於古典力學
: 能否以拉格朗日力學跟哈米爾頓力學的出發點來做探討？
一．拉格朗日力學
以下以[i]代替三維空間x,y,z下足標，
1.位能 V=-Σ∫F[i]．dq[i]
i
2.動能 T=v^2/2m = Σ(dq[i] /dt)^2/2m
i
3.Lagrangian: L=T-V
拉格朗日等式：
δL/δq[i] = d (δL / δ(dq[i] /dt) ) /dt
-δV/δq[i]= d (δT / δ(dq[i] /dt) ) /dt
F[i] = d(dq[i] /dt)/m )/dt = d^2 q[i] /d t^2
剛好就是牛頓第二運動定律。
拉格朗日等式並不排除F=0的情形，將F=0代入：
0= F[i] = d V[i] / dt
dV/dt的反導函數存在，將兩邊積分：
V[i]= 定值 ，將V[i]=dq[i]/dt用x,y,z三度空間帶入，
Vx = c1 (定值)
Vy = c2 (定值)
Vz = c3 (定值)
則F=0時，速度為定值，物體進行等速度運動，速率相同，方向不變。
特例 0=c1=c2=c3，物體靜止。
由拉格朗日等式得知，所受合力為零F=0時，
物體進行等速度運動(也含靜止不動的狀況)，
也就是進行速度不為零的等速度運動，或是靜止不動。
二．哈米爾頓力學
Hamiltonian H=T+V 其中T與V如上一題所定義，T= Σ p[i]^2/2m
i
計算哈米爾頓力學三等式：
1.δH/δq[i]=-dp[i]/dt
δV/δq[i]=-dp[i]/dt
=-F[i]
F[i]=dp[i]/dt ..(1)
2.δH/δp[i]= dq[i]/dt
=δT/δp[i]
=p[i]/m ..(2)
將(2)代入(1) F[i]=dp[i]/dt = m*d^2 q[i]/dt^2
= m*a[i] ..(3)
其中a[i]是在各方向的加速度分量量值。
此等式剛好就是牛頓第二運動定律。
3.δH/δt= -δL/δt
δT/δt+δV/δt= -δT/δt + δV/δt
2*δT/δt = 0
0 = δT/δt = δ(Σ v[i]^2 /2m )/ δt
i
= Σ v[i]*a[i] /m
寫成三維向量式，速度向量V=(Vx,Vy,Vz)， 加速度向量A=(Ax,Ay,Az)
V．A = 0 ....(4)
在哈米爾頓力學第三等式，
速度與加速度的內積為零。
0=Σ v[i]*a[i] /m = Σ v[i]*dv[i]/dt /m
i i
等式兩邊都是可積分函數，對時間積分：
定值= ∫ Σ v[i]*dv[i]/dt /m *dt = Σ v[i]^2 /2m (正比於動能T)
i i
能量守恆的條件下，動能為定值，
Σ v[i]^2 = V^2 ..(5) 為定值，必進行等速率運動
i
考慮(4)-速度與加速度內積為零，(5)-等速率條件，分析以下可能狀況：
(a)速度與加速度皆不為零，則速度與加速度垂直，所受合力不為零，
且進行等速率運動，例如等速率圓週運動(不只這種運動,不窮舉了)。 ..(6)
(b)速度為零，加速度不為零，所受合力不為零
考慮哈彌爾頓等式所算出的等式(3)，此式剛好是牛頓第二運動定律
F[i]= m* dv[i]/dt ...(7)
但是速度為零，則各速度分量v[i]=0, dv[i]/dt=0 代入(7)，
發現左式不為零，右式為零，矛盾，故知(b)狀況不可能存在。
(c)速度不為零，加速度為零，所受合力為零
考慮哈彌爾頓等式所算出的等式(3)，此式剛好是牛頓第二運動定律
F[i]= m* dv[i]/dt= m* a[i] = 0
將兩邊對時間t積分，得到 v[i] = 定值，
Vx為定值，Vy為定值 ，Vz為定值， ..(8)
物體進行等速度直線運動。
(d)速度為零，加速度為零，所受合力為零
考慮哈彌爾頓等式所算出的等式(3)，此式剛好是牛頓第二運動定律
F[i]= dv[i]/dt= m* a[i] = 0
將兩邊對時間t積分，得到 dq[i]/dt = v[i] = 定值 = 0
(因為速度為零)
將兩邊積分，q[i] =定值，位置固定，速度為零，物體靜止。..(9)
考慮以上有解狀況：
(a)&(6)速度與加速度皆不為零，
所受合力不為零，等速率圓週運動 ..(10)
(c)&(8)速度不為零，加速度為零
所受合力為零，等速度直線運動 ..(11)
(d)&(9)速度為零，加速度為零，
所受合力為零，靜止不動 ..(12)
其中所受合力為零的狀況為(11)(12)，
物體可能進行速度不為零的等速度直線運動，或是靜止不動。
由牛頓力學(第二運動定律)，拉格朗日力學，哈米爾頓力學，
三種不同的體系，計算合力為零的狀況，
都可以推導出牛頓第一運動定律－慣性定律。
板上很多強者，對拉格朗日力學與哈米爾頓力學都比我懂得多，請多多指教。
: 小弟這兩部力學不是很精通
: 所以想跟大家討論看看
: 然後再回到牛頓力學
: 檢視看看牛頓三大運動定律的獨立性
檢驗得知第一與第二運動定律，在三大力學的框架下都不是完全獨立的，
第一運動定律是第二運動定律的特例。
第三運動定律其實也與第二運動定律有關聯，只要把兩個運動的物體的
合體以內的力當作內力，合體以外的力當作外力，分開討論證明。
不過合體的外力與內力的觀念本身似乎嚴格來說也是一種定義，甚至定律。
我們可以說外力與內力的觀念可以證明牛頓第三運動定律，
或是牛頓第三運動定律可以證明外力與內力的觀念。
因為這種證明像是繞口令，我就不多寫了。
: 另外狹義相對論跟廣義相對論
: 小弟認為他的出發點其實跟牛頓第一運動定律和第二運動定律很類似
: 都先闡述慣性座標系，然後再延伸到非慣性座標系
: 有沒有類似拉格朗日或哈米爾頓力學的觀點
: 來重新闡述相對論？
拉格朗日觀點可以很方便地使用gauge transformation得到Lorentz invariant的
敘述，所以量子電動力學課本最常用拉格朗日觀點描述狹義相對論(而非其他兩者)，
前幾堂課會先證明與哈米爾頓力學完全等價，以後再配上一些哈米爾頓力學來描述
位置動量能量的關係。
Lagragian
http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_electrodynamics#Euler-Lagrange_equations
http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrangian#Special_relativistic_test_particle_
with_electromagnetism
http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrangian#General_relativistic_test_particle
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6@_@9
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讓我先想一想......
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