Re: [題目] 簡諧運動
※ 引述《ddwin (山魍魎魅)》之銘言：
: [領域]普物 (題目相關領域)
: [來源] 考古題 (課本習題、考古題、參考書...)
: [題目]A damped harmonic ocsillator with small damping has a period of
: 2.0 seconds. It can be driven by a force that varies sinusoidally with
: one of the frequencies below. For which frequency the steady-state
: amplitude be the largest?
: a 0.51Hz b 1.02Hz c 2.04Hz d 4.08Hz e 8.16Hz
: [瓶頸] (寫寫自己的想法，方便大家為你解答)
: 我想先照題目說的 把不受外力但是有阻尼時候的位移算出 這是算2階的齊性解
: 由於他說週期等於 2s 所以可得知此角頻率w'
: 再來把受到外力考慮進去 求此特殊解
: 最後把齊性解和特殊解相加 作微分等於0 求此時w多少再換成頻率
: 可是我算出來的東西很奇怪 而且好像搞太複雜了
: 有人可以指點一下嗎?
詳細龜毛版(可跳過):
damping:
x''+γx'+(ω^2)x = 0 ,ω^2 = k/m
let x = Ae^iwt
w^2-iγw-ω^2 = 0
=> w = iγ/2+√(4ω^2-γ^2)/2
~ iγ/2+ω (阻尼很小)
因此阻尼週期和簡諧週期可視為一樣
ω=2π/2 = π
forced:
x''+γx'+(ω^2)x = F
此方程式的解為齊次項+非其次項
齊次項就是damping的解,因為很快就衰減至0,所以此處不必理會
單純討論受迫的非其次項即可
let the force: F = fe^iΩt
=> let x = Ae^iΩt
=> A(-Ω^2+iγΩ+ω^2) = f
=> A = (f/|-Ω^2+iγΩ+ω^2|)e^iθ
θ是個延遲相角,此題只要問振幅,所以不必理會
只需考慮Ω為哪個選項時可讓|-Ω^2+iγΩ+ω^2|最小:
Ω=2πf, ω=π
(ω^2-Ω^2)^2+(γΩ)^2 ~ (ω^2-Ω^2)^2
=> π^2-4π^2f^2 = π^2(1-4f^2) ........(*)
選項a可讓(*)式最小,所以答案是a
速算懶人版:
因為題目說小阻尼,所以可以統統當成簡諧運動看
所以2秒就是固有週期=>固有頻率0.5Hz
又簡諧運動的共振是在外力頻率等於固有頻率時,
所以越接近0.5Hz時振幅越高
故答案(a)
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◆ From: 60.245.114.9
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08/11 10:25, , 1F
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08/11 23:23, , 2F
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