Re: [題目] 基本的空間向量積分問題
※ 引述《newhan (((((((())))))))》之銘言：
: 我還是弄不清楚 囧"
: 我參考David Cheng的課本 例題2-4： 設F = xy i + 3x-y^2 j
: 求從p1點(5,6)到p2點(3,3)的線積分?
: Ans: F‧dl = F‧(dx i + dy j) = xydx + (3x-y^2)dy
: 而路徑p1p2的方程式為 y = (3/2)*(x-1)
: ∴∫F‧dl = ∫3x(x-1)/2 dx (上下限:5到3) + ∫(2y+3-y^2) dy (6到3)
: ^^^^^^^ ^^^^^^^^^
: 這裡y用(3/2)*(x-1)直接代入 這裡x用1+(2/3)*y代入
: 然後積分出來代上下限就得到值了(=作功)
: (問題1)那我可以用在這裡嗎？ 因為這題比較特殊，我想說先算線積分再乘以高
→
作功: dl = (dx^2+dy^2)^0.5 (a^2+b^2)^(-0.5)(a i +b j ) (a i + b j) 為線的方向
^^^^^^^^^^^^^^^^歸一 或稱整個為單位向量
此題線段方向: 2i+3j 單位向量: 13^(-0.5)(2i+3j)
→
dy=3/2dx帶入==> dl = (1+9/4)^0.5 dx 13^(-0.5)(2i+3j) = dx i + dy j
簡單來說 如果要求作功 dl = dx i + dy j 帶入沒問題
但是你所問的題目:面的方向不等於你所積的方向 而且還垂直那線段的方向
你要先積線段可以 線段的 dl = (dx^2+dy^2+dz^2)^0.5
而不是單純把 (dx i + dy j +dz k) 的方向部分去掉(應該說 去掉的方向要為"單位向量")
我想你最大的問題應該是這個
: : ^^應該是dy ^^ 應該是 dx
: : 因為surface area dA = (dy i + dx j) *dz
: : 所以你的答案碰巧對了
: (問題2) 上面例題積分出來是純量值，那麼我把D的i,j分量分開積分 (如上)
: 意思是假設現在有兩個D，分別只有i,j分量，沿同一路徑各自線積分之後
: 再乘以i,j單位向量，就變回"某種"向量了？
: 此某種向量代表：D在這條線上所有點，其向量和？
: : 碰巧對的原因是這個題目 |dx| = |dy|.
: : 如果表面的 x,y 遵守 x + 2y = 2. 那我相信就不會碰巧對了
: 上面的例題dx不等於dy，但也直接代路徑方程式進去啊@@
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