Re: [問題] 請教保守力
※ 引述《Beachboy (天煞孤星)》之銘言：
: ※ 引述《idyllic (flatlander)》之銘言：
: : 功是力和位移的內積，你忘了他們是向量
: : 例如一個走直線，另一個走半圓
: : 假設彈簧力 f 跟 dx 夾角θ，半圓半徑 r
: : 那麼走直線你必須作的功是 2kr^2
: : 走圓弧需作的功是 \int( k(2 r sinθ)(2rdθ) cosθ )_0^{pi/2}
: : (積分範圍從 0 到 Pi/2, \int 代表積分)
: : 積積應該會跟上面的答案一樣
: 我是有想到他們是向量
: 但如果，換個更簡單的情況好了。
: 想像一個直角三角形 ， A、B是斜邊的兩端。
: 同樣兩個端點，彈簧從A沿著斜邊(直線)拉長到B，手作功W。
: 但若先經過直角，再轉彎到B，手作功W'。
: 很明顯，兩邊長>第三邊。 那這樣一定是 W' > W 。
還是可以算出來兩條路得作一樣的功
假設斜邊 c，另兩股 a,b
直接走斜邊得作功 kc^2/2
走 a 再走 b 得作功 ka^2/2 再加上一個積分
-\int((ka cscθ) (-a csc^2θ) cosθ)_pi/2^u
其中假設了作用力和在 b 邊上的位移 dx 夾角為θ，且 cos(u) = b/c
算出來的結果正是 kb^2/2
由畢氏定理知道兩條路作的功是一樣的
: 所以我開始懷疑，一開始推文那位大大說的，是不是只有一維的彈簧才適用？
其實在三維空間都一樣
向量分析去積一下你所要作的功就知道只跟位置有關，跟路徑無關
計算還比那兩個圓弧跟三角形的習題簡單...
: 其實，還有一個極端的情況可以想像。
: 例如從某點出發，再回到原來的點好了。
: 假設不拉彈簧(出發和回來都在原點)，作功0。
: 但如果繞著類似蝸牛圓形狀的軌道繞了幾百圈，也是同樣到原點。
: 那可以想見，放開之後，物體回到原點時候，速度有多快。那作功就很大了。
: 這....是怎麼回事？
你拉出去得作功，拉回來還是得作功
總功是 0 阿
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◆ From: 140.113.4.15
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