※ 引述《couch》之銘言：
接下來再回到以下方程
Ａ(x) f(x) = λ f(x)
我們知道這是個 eigenvalue problem
所得到的解，配合邊界條件，大部分的狀況下，λ的值是離散的
由此方程，我們會算出一堆離散的λ1, λ2, λ3....
如果再配合其它變數 (y, z... etc)，所算出來的，且離散的 eigenvalue
你會發現，原本你所想要解的偏微分方程，可以轉化為以下形式
Ｄ(x, y, ...) g(x, y, ...) = λ g(x, y, ...)
Ｄ是線性運算子，λ是一常數
這裡的λ也是離散的，是由分離變數法，由不同變數求得的 eigenvalue
組合運算而成的
這裡得到一個很重要的觀念：mode
每個λ所對應到的 eigen function g
通常，我們會賦與它一個物理含義：模態
模態的概念到處可見：
分子/晶格振動
波導管中的電磁波
量子力學的 eigenstate
....
----------
實際的解是由基底作線性疊加而成的
在物理上，就是實際的解，是由不同模態組合而成的
而 eigenvalue λ 通常代表一個我們所關心的物理量
例如，能量，角動量，波速.... 等
把這些概念對應到不同的應用領域，就會發現不同的物理意含
----------
分離變數法會與模態扯上關係，乍看之下好像很虛無漂緲
但如果我們仔細檢視解問題的步驟，這件事其實就變得滿直覺的
它們是由 eigenvalue problem 當中間的媒介
> ※ 引述《ccos.bbs@bbs.ntu.edu.tw (vee vee vee vee)》之銘言：
> > 第一次聽到這種說法 感覺很新鮮 小時候基本上是管他三七二十一算出答案
> > 就不管了 現在年紀大了才知道要多想 不知道您上述的講法是從哪本書看來
> > 的 想找來翻翻
> > by Cheng Cosine
> > Jun/07/2k3 Ut
> mmm....
> 這些是老師上課提到的觀念
> 我不知道書找不找的到
> 但講一些我聽到的東西好了
> 像在解擴散的Fick's second law時
> short time會用Green's function的方法解
> 解出所謂的thin film solution(是個Gaussian function)
> 然後再利用boundary condition來決定要怎麼把這些Gaussian functin加起來
> long time時則用分離變變數(跟前面提到的decouple有關)
> 分完了你愛用哪種transform或級數展開把解算出來就隨便你囉
> 這兩種方法的不同除了以上所說的
> 還有一個就是級數要收斂的問題
> 倒過來用應該也是可以解
> 只是寫出來的解會寫到手軟還不一定收斂得下來
> 量子力學的話會瞰的解釋(以氫原子來說)
> 單從分離變數方法來看
> 可能就只能說是數學上解pde的手法
> 但是因為氫原子是central force problem
> radial的部分的operator(這我沒聽過有名字)
> 和L^2 , Lz三者是commute
> 所以三者各自的eigentfunction可以分開來解
> 而且可以用乘法湊起來
> 從operator的觀點來看就可以去interpret分離變數法
> 但我覺得以上只是物理各領域中的不同看法
> 重點應該是用分離變數法解出來的解可以用來展開任何可能的解
> 所以管他解出來對不對
> 反正對的答案最後一定可以湊出來就好啦
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