※ 引述《couch》之銘言：
我們知道，使用分離變數法時，座標的選取與問題的對稱性習習相關
直角座標比較單純，因為使用分離變數法時，方程的長像比較簡單
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圓柱座標與球座標似乎就有點複雜了
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通常，在解圓柱對稱的問題時
我們當然二話不說使用圓柱座標解
使用分離變數法，對於 z 軸與φ軸上的微分方程，其長像通常很簡單
但在 r軸 的微分方程，這個微分方程的長像表面上看起來好像不會太難
但很不幸地，它與一般的常係數微分方程，或其它可以轉換成常係數的微分方程形式
都有些許的差異......
所以我們無法使用 Laplace tx 或 Fourier tx 這類葵花寶典....
其實，在這裡所遇到的方程，其解，就是曾令一堆理工科學生頭大的 Bessel fx
除了 Jn(x)，還有 In(x)......
不過很幸運地，Bessel 他早在十九世紀時
就幫我們整理好 Bessel fx 的許多代數法則
再加上許多後人的努力，我們解問題時
幾乎可以直接套用前人留下來的甜美果實
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球對稱的問題，嗯，我們發現，當使用球座標，利用分離變數法計算時
如果偏微分方程是球對稱，那整個偏微分方程拆成 R 軸的部分與 (θ,φ) 軸的部分
在 R 軸上的方程與原偏微分方程的形式相關
所以它的解是 case by case，不過都不會太複雜
以常見的二次偏微分方程而言，球對稱的方程在 x, y, z 方向
都是 ▽^2 + f(r)，而其它非 x, y, z 軸則是看狀況
因為如此，如果把整個方程改用球座標描述
我們會發現一件很好玩的事：在 (θ,φ) 軸的方程，與原偏微分方程無關
這是一件很美妙的事，為什麼呢，就是
我們今天可能在解這個球對稱問題，明天解那個球對稱問題
但問題無論如何變化，當我使用分離變數法時
不同問題在 (θ,φ) 軸上的方程竟然都長得一模一樣!!!!
換句話說，所有繁重的工作，我們只要在第一次花力氣完成即可
當然，這個工作已經被完成了，長像與 Legendre polynomail 有關係
（其實就是一堆 sin cos 之間的轉換）
誇張一點的，只要把解的形式背下來（我背不起來，嗚嗚 :~~）
只要遇到球對稱問題就可以直接拿來套用
其實，在 (θ,φ) 軸上的方程解
與量子系統的角動量量子化與磁量子化的形式很像
剩下的，就是 R 軸上的方程了....
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J. J. Sakurai 那本書中，對於球座標相關的東西，講得滿仔細的
由於處理的是量子系統，除了考慮方程解 (eigenstate, eigenket) 之外
還要考慮 operator
由於 J 表示角動量，是空間旋轉的 generator
所以既然是討論球對稱(空間旋轉不變)問題
所以被拿來玩的 operator 就是 J
在這個狀況下，要多做一些工作，用來觀察 J 的變化
整個架構引入 spherical tensor 的觀念，用來處理 J
當然在 (θ,φ) 軸上的方程解也可以由 spherical tensor 直接處理
因為量子系統中，有所謂 "半整數自旋" 這件事 (電子的自旋就是 1/2)
所以，原本 (θ,φ) 軸上的方程解不夠用 (因為只能處理整數自旋的情形)
對於半整數自旋的粒子，就得藉重 spherical tensor 加以處理了
> ※ 引述《ccos.bbs@bbs.ntu.edu.tw (vee vee vee vee)》之銘言：
> > 第一次聽到這種說法 感覺很新鮮 小時候基本上是管他三七二十一算出答案
> > 就不管了 現在年紀大了才知道要多想 不知道您上述的講法是從哪本書看來
> > 的 想找來翻翻
> > by Cheng Cosine
> > Jun/07/2k3 Ut
> mmm....
> 這些是老師上課提到的觀念
> 我不知道書找不找的到
> 但講一些我聽到的東西好了
> 像在解擴散的Fick's second law時
> short time會用Green's function的方法解
> 解出所謂的thin film solution(是個Gaussian function)
> 然後再利用boundary condition來決定要怎麼把這些Gaussian functin加起來
> long time時則用分離變變數(跟前面提到的decouple有關)
> 分完了你愛用哪種transform或級數展開把解算出來就隨便你囉
> 這兩種方法的不同除了以上所說的
> 還有一個就是級數要收斂的問題
> 倒過來用應該也是可以解
> 只是寫出來的解會寫到手軟還不一定收斂得下來
> 量子力學的話會瞰的解釋(以氫原子來說)
> 單從分離變數方法來看
> 可能就只能說是數學上解pde的手法
> 但是因為氫原子是central force problem
> radial的部分的operator(這我沒聽過有名字)
> 和L^2 , Lz三者是commute
> 所以三者各自的eigentfunction可以分開來解
> 而且可以用乘法湊起來
> 從operator的觀點來看就可以去interpret分離變數法
> 但我覺得以上只是物理各領域中的不同看法
> 重點應該是用分離變數法解出來的解可以用來展開任何可能的解
> 所以管他解出來對不對
> 反正對的答案最後一定可以湊出來就好啦
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