[中學] 三角形線段長問題

看板Math作者 (笨熊康誥)時間6月前 (2025/06/09 01:28), 編輯推噓0(0推 0噓 18→)
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題目來源：2024澳洲AMC中學中級卷#30 英文原題： A triangle, △ABC, has sides AB = 18, AC = 24, and BC = 30. Point P is on side　AB and a line is drawn through P so that half of the perimeter of △ABC lies on each side of the line and half of the area of △ABC lies on each side of the line. What is the square of the distance CP? 主辦單位中文翻譯： 在三角形ABC中， AB=18，AC=24，BC=30。 點 P 位於 AB 邊上，過點 P 作一條直線。 這條直線將 △ABC 的周長與面積平分。 請問 CP 長度的平方是什麼？ 參考答案：６３０ 因學生只有國中程度，還沒接觸三角函數與海龍公式； 目前想以勾股定理及設未知數求解，無法正確得到答案。 再麻煩各位指點，不勝感激，謝謝大家。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.43.143.242 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1749403690.A.8F1.html
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06/09 02:27, 6月前 , 1F
直線沒有其他要求的話，無論P在哪裡都能找到滿足平
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06/09 02:29, 6月前 , 2F
分面積的直線（通過重心） 喔不對我突然想錯了
06/09 02:29, 2F
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06/09 02:39, 6月前 , 3F
可以用直角座標弄通過重心座標與P(x,0)的直線的截
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06/09 02:39, 6月前 , 4F
距來算嗎？
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06/09 02:53, 6月前 , 5F
過程只用到二元一次方程式以及一元二次方程式
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06/09 02:58, 6月前 , 6F
啊不對，雖然截距能算交AC的，但應該交BC的樣子
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06/09 02:59, 6月前 , 7F
這樣算起來麻煩許多
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06/09 04:27, 6月前 , 8F
喔不對我根本想錯了，過重心不一定平分三角形面積
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06/09 05:44, 6月前 , 9F
如果先知道面積等分線以及周長平分線的畫法，
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06/09 05:46, 6月前 , 10F
最後可以用相似三角形得到9:(18+x)=(9-x):(12-x)
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06/09 05:46, 6月前 , 11F
整理可得x^2=54 但好難啊
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06/09 05:49, 6月前 , 12F
都以A點為基準，PA長度為x 主要麻煩在面積等分線
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06/09 05:53, 6月前 , 13F
畫法是過AB中點M且與CP平行之直線MQ交BC於Q，則PQ
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06/09 05:54, 6月前 , 14F
就是面積等分線（蝶形CQPM兩個三角形等面積）
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06/09 06:03, 6月前 , 15F
再配合周長平分線可知BQ=18+x CQ=12-x MQ=9-x
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06/09 06:03, 6月前 , 16F
上面不是MQ，是MP
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06/09 07:32, 6月前 , 17F
為什麼我算答案是 432…
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06/09 07:33, 6月前 , 18F
沒事，我看錯了
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