Re: [中學] 請教機率與期望值之間的關係

看板Math作者mantour (朱子)時間9月前 (2025/03/09 23:49)推噓2(2推 0噓 0→)

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※ 引述《leote (流浪者)》之銘言： : 投擲一公正骰子六次 : 出現1點的次數期望值是6*1/6=1次 : 投擲一公正骰子六次 : 出現1點的次數恰好為一次的機率是C(6,1)*(1/6)*(1/6)^5 = 0.401877 這個寫錯了應該是 C(6,1)*(1/6)*(5/6)^5 : 期望值是代表長期的平均值，機率是單一事件的可能性(問AI給的答案) : 不知是否有更淺白的解釋說明上面計算結果的關聯性？ : 謝謝~ 出現1點的次數期望值如果按照定義來算的話應該等於恰好出現0次的機率*0 + 恰好出現1次的機率*1 + 恰好出現2次的機率*2 + 恰好出現3次的機率*3 + 恰好出現4次的機率*4 + 恰好出現5次的機率*5 + 恰好出現6次的機率*6 實際算看看= C(6,0)*(5/6)^6*0 + C(6,1)*(1/6)*(5/6)^5*1 --> 出現1點的次數恰好為一次的機率0.401877 + C(6,2)*(1/6)^2*(5/6)^4*2 + C(6,3)*(1/6)^3*(5/6)^3*3 + C(6,4)*(1/6)^4*(5/6)^2*4 + C(6,5)*(1/6)^5*(5/6)^1*5 + C(6,6)*(1/6)^6*6 = 1 這樣算就明顯可以看出兩者的差別和關係而且確實跟1/6*6算出來結果一樣至於用 1/6*6 則是利用期望值的線性性質設 X1 = 1, 如果第1次擲出1, 否則為0 X2 = 1, 如果第2次擲出1, 否則為0 X3 = 1, 如果第3次擲出1, 否則為0 X4 = 1, 如果第4次擲出1, 否則為0 X5 = 1, 如果第5次擲出1, 否則為0 X6 = 1, 如果第6次擲出1, 否則為0 六次下來擲出1的總次數=X1+X2+X3+X4+X5+X6 而X1的期望值為 1*第一次擲出1的機率 + 0*第一次不是1的機率 = 1*(1/6)+0*(5/6) = 1/6 同理X2 ~ X6的期望值也都是1/6 由期望值的線性疊加可知E(X1+X2+...+X6)=E(X1)+E(X2)+...+E(X6)=1 最後"期望值是代表長期的平均值" 這句話的意思指的就是"大數法則": 在這個例子中, 如果擲6次為一組, 假設你第一組擲出2次第二組擲出0次第三組擲出5次 ... 那一直擲下去如果計算每組擲出次數的平均值就是 Σ(k * 擲出k次的組數)/總共擲的組數我們先用直覺去想擲出k次的組數/總共擲的組數 ≒ 擲出k次的機率所以擲很多組得到的1的次數的平均值 Σ(k * 擲出k次的組數)/總共擲的組數 ≒ Σ(k * 擲出k次的機率) = 擲出1的次數的期望值然而實際上不管擲多少組平均值都不會總是剛好等於期望值所以上面的等式實際上不是真正的等式而是要用機率和極限的方式去描述只要google "大數定理" 應該都找得到比較嚴謹的描述 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 36.224.13.126 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1741535373.A.1B0.html

推

leote

03/10 14:41, 9月前 , 1^F

03/10 14:41, 1^F

推

Refauth

03/10 18:08, 9月前 , 2^F

03/10 18:08, 2^F

※ 編輯: mantour (36.224.24.177 臺灣), 03/14/2025 20:29:32

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