[機統] 多事建交級和聯集之機率與上下界

看板Math作者 (SaltLake)時間1年前 (2024/08/17 11:26), 1年前編輯推噓7(7推 0噓 18→)
留言25則, 5人參與, 1年前最新討論串1/1
請問如何表達多事件交集和聯集的機率和上下界? 給定事件 A(i), i = 1 to n 兩事件聯集的機率: P( A(1) U A(2) )= P(A(1))+P(A(2))-P(A(1) ^ A(2)) 但是多事件的情況呢? P( U A(i), i = 1 to n) = ? 如果是上述機率的上界或者下界呢? ooo <= P( ^A(i), i = 1 to n) <= xxx 倘若是交集的狀況呢? -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.36.194.30 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1723865214.A.456.html
推
08/17 11:39, 1年前 , 1F
P( U A(i), i = 1 to n) 常用的上界 Sum_i P(A(i))
08/17 11:39, 1F
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08/17 11:39, 1年前 , 2F
常用的下界我想得到的有 max_i P(A(i))
08/17 11:39, 2F
感謝 :) 上面是聯集的，交集的有嗎? ※ 編輯: saltlake (114.36.194.30 臺灣), 08/17/2024 13:18:23
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08/17 14:07, 1年前 , 3F
聯集不就是排容
08/17 14:07, 3F
推
08/17 14:09, 1年前 , 4F
^機率
08/17 14:09, 4F
推
08/17 14:13, 1年前 , 5F
由 DeMorgan 交集取補等於補的聯集, 然後代一樓
08/17 14:13, 5F
推
08/17 15:02, 1年前 , 6F
交集的話，通常上界用的是 min_i P(A(i))
08/17 15:02, 6F
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08/17 15:03, 1年前 , 7F
而交集不太會有下界
08/17 15:03, 7F
推
08/17 20:10, 1年前 , 8F
有種包法隆尼聯合信賴區間法的感覺
08/17 20:10, 8F
推
08/17 20:15, 1年前 , 9F
搜搜看Bonferroni inequality是不是你要的
08/17 20:15, 9F
交集如果都是獨立事件的話，總機率是連乘積。 但是一般狀況呢? ※ 編輯: saltlake (114.36.194.30 臺灣), 08/18/2024 01:09:09
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08/19 09:15, 1年前 , 10F
Bonferroni 不等式是說: 多事件聯集之機率,不大於各
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08/19 09:16, 1年前 , 11F
事件機率的和. 另: 多事件交集的機率,最小是0,最大
08/19 09:16, 11F
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08/19 09:18, 1年前 , 12F
是各單一事件機率的最小值,這是很明顯,並且除非有像
08/19 09:18, 12F
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08/19 09:19, 1年前 , 13F
相互獨立的附加條件否則無法改進的.
08/19 09:19, 13F
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08/19 09:20, 1年前 , 14F
再者,多事件聯集的正確機率,可以用 "取捨原理" 計算
08/19 09:20, 14F
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08/19 09:22, 1年前 , 15F
P{聯集Ai) = sum P{Ai} - sum P{Ai交集Aj} +- ...
08/19 09:22, 15F
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08/19 09:24, 1年前 , 16F
後面 "+-..." 是 + 所有3事件交集機率和 - 4事件...
08/19 09:24, 16F
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08/19 13:03, 1年前 , 17F
y大，若兩事件AB交集的機率下界可以改進到 max(0 ,
08/19 13:03, 17F
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08/19 13:04, 1年前 , 18F
P(A)+P(B) - 1)，不知道多事件的時候有沒有辦法寫
08/19 13:04, 18F
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08/19 13:04, 1年前 , 19F
成類似的。
08/19 13:04, 19F
聯集的情況︰ P( A(1) U A(2) ) = P(A(1))+P(A(2))-P(A(1) ^ A(2)) P(A(1) ^ A(2)) >=0 => P( A(1) U A(2) ) <= P(A(1))+P(A(2)) 等號於兩事件交集為空集合成立 有上界 交集的情況︰ P( A(1) U A(2) ) = 1-P( comp( A(1) U A(2) ) ) = 1-P( comp(A(1) ^ comp(A(2) ) => P( comp(A(1) ^ comp(A(2) ) = 1-P( A(1) U A(2) ) >= 1-( P(A(1))+P(A(2)) ) 有下界 另外我們知道，獨立事件之聯集的機率是個事件機率的聯乘積。 所以: P(comp(A(1)))*P(comp(A(2))) >= 1-( P(A(1))+P(A(2)) ) 但是獨立事件屬特殊情況，一般情況呢? ※ 編輯: saltlake (114.36.194.30 臺灣), 08/19/2024 18:27:24 是否存在下面這個不等式? P( A(1) ^ A(2) ) <= P(A(1))*P(A(2)) 等號在事件是彼此獨立的時候成立，而當事件彼此相依的時候是小於之關係。 ※ 編輯: saltlake (114.36.194.30 臺灣), 08/19/2024 23:17:19 ※ 編輯: saltlake (114.36.194.30 臺灣), 08/19/2024 23:18:30
推
08/20 06:35, 1年前 , 20F
獨立並不取極值, 相對來說反而比較像是「中間狀況」
08/20 06:35, 20F
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08/20 06:35, 1年前 , 21F
很上面都提過了, 交集最小 0 最大是所有機率中最小
08/20 06:35, 21F
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08/20 06:36, 1年前 , 22F
而獨立的相乘結果顯然小於所有個別機率
08/20 06:36, 22F
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 請問這點怎麼證明? 哎呀! 忘了這邊是機率! 機率值都小於等於一且大於等於零。 所以機率連乘必然不會變大而可能越來越小， 而機率聯加不會變小而可能越加越大。 題外話，倘非機率而是不小於一的正數之聯乘與聯加呢?
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08/20 06:40, 1年前 , 23F
你下面提的下界照樣推算其實可以寫成
08/20 06:40, 23F
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08/20 06:41, 1年前 , 24F
(ΣP(A(i)))-(n-1), 如果要考慮到自然下界 0
08/20 06:41, 24F
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08/20 06:41, 1年前 , 25F
那可以加個 max(..., 0) 就好
08/20 06:41, 25F
※ 編輯: saltlake (114.36.194.30 臺灣), 08/20/2024 08:54:46 ※ 編輯: saltlake (220.136.207.41 臺灣), 08/21/2024 06:08:58
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