Re: [中學] 台中一中段考題--二項式定理 + 立方化簡
※ 引述《cuteSquirrel (可愛的小松鼠)》之銘言：
: 標題: Re: [中學] 台中一中段考題--二項式定理
: 時間: Wed Aug 7 00:35:53 2024
:
: [ √2 + √3 ]^6 = [ √3 + √2 ]^6
:
: 對調次序 方便後面製造對稱的 √3 - √2 方便計算 和 估計整數
: 根據指數律
: :
: 所求 + 對稱形式的六次方 = 2 * 5^3 + 6 * 5 * 4 * 6 = 970
:
: 所求 + 已知0 ~ 1之間的小數 = 970
:
: 所求 = 969 + 小數部分
:
: 也可以說 969 < 所求 < 970
:
: → cuteSquirrel: 不過如果是更高的n次方 目前沒想到啥好的近似法 XD 08/07 16:39
: 推 choun : 感謝可愛松鼠！！！太強了~~~ 謝謝~~~！！！ 08/07 16:50
有的 實際上就是用你的那個做法，只是寫得比較廣泛一點
0 < √3 - √2 < 1 已經在松鼠的文章裡面寫過
令 A_{n} = (√3 + √2)^n + (√3 - √2)^n for n >= 0
定理一： A_0 = 2, A_1 = 2√3, A_2 = 10 (顯而易見)
定義 B_{n} = A_{2n} = (5+2√6)^n + (5-2√6)^n for n >=0
5-2√6 = (√3 - √2)^2 所以也介於於 0 和 1 之間
定理二：B_0 = 2, B_1 = A_2 = 10 (顯而易見)
定理三：B_{n+2} = 10B_{n+1} - B_{n} (自己導一下)
所以在原問題裡面 A_6 = B_3 = 10B_2 - B_1
= 10(10B_1-B_0) - B_1
= 10*(100-2) - 10
= 970
也就是說 A_6 = (√3 + √2)^6 + (√3 - √2)^6 = 970
而 0 < (√3 - √2) < 1 所以 (√3 + √2)^6 整數部分是 969
這個做法呢，n 可以依樣畫葫蘆推到更高的次數，反正就是一個遞迴數列
附錄 定理四： A_{n} 只有 n 是偶數的時候才是整數
可以先證明 (1) A_{n} 在 n 是偶數的時候是整數
(2) 接著用恆等式 A_{n+2} = 2√3A_{n+1} - A_{n}
證明當 n 為奇數時候 A_n 非整數
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創作角卷綿芽時要特別注意的地方
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※ 編輯: arrenwu (98.45.195.96 美國), 08/07/2024 17:11:14
推
08/07 17:11,
1年前
, 1F
08/07 17:11, 1F
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