Re: [微積] power series
※ 引述《weljie966 (weljie)》之銘言：
: find a power series for f(x)=arctan(x) centered at3 and its interval of conver
: nce
: 想請教該怎麼做這題
（建議手機使用者橫向閱讀較為舒適）
剛剛有空寫了以下解析，基本上並沒有很難計算，也不需要用到二項式展開
題目我有稍微修正了一下，將「收斂區間」（interval of convergence）
改成「收斂區域」（region of convergence）比較恰當
https://imgur.com/EFnlYTx
最後補充一下，如果只是要找收斂半徑的話，
可以直接看中心 x=3 離最接近的 singularities i 以及 -i 的距離，即 根號10
有那裡打錯的話，歡迎網友們多多提出～
內文已儘量論述詳盡，希望有幫助到你的學習^^
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※ 編輯: cuylerLin (27.51.145.238 臺灣), 04/19/2024 02:15:07
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我是不知道「單純微積分」要怎麼有效處理這個問題就是了XD
至少依據我過往的訓練經驗除了硬炸開各種積分和 summation 之外別無他法，甚至要化簡成最後我那邊的形式也是另一個問題
（這讓我想到很多實數積分的結果不也是透過複數平面上的路徑積分得來的嗎？）
實分析或者複分析有更好或者更嚴謹的工具，例如這邊我們可以清楚知道是不能碰到 singular points 的，收斂區域邊界上的點其斂散性也是需要逐一討論（open-ended questions: boundary point convergence)
這也回應到在實數列的收斂區間端點上，斂散性也是需要個別討論
最後回到你的例子，同樣的收斂半徑 R 之下，sign incompatible 或 sign alternating coefficients 的情況，我們最多只能說收斂半徑「至少」會是 R，實際是多少則要看相加後的結果
※ 編輯: cuylerLin (27.51.145.238 臺灣), 04/19/2024 03:46:45
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