Re: [其他] 請問如何求出這題的遠近日點

看板Math作者 (奈何上天造化弄人？)時間1月前 (2024/03/09 12:45), 1月前編輯推噓5(5推 0噓 34→)
留言39則, 3人參與, 1月前最新討論串3/3 (看更多)
※ 引述《iampig951753 (MultiOrganFailure)》之銘言： : https://i.imgur.com/0hP9Gk9.jpg
: 如題 : 想了一整晚 : 完全沒有頭緒 : 比解出答案更痛苦 解出答案還會痛苦？ : 問人也沒有找到解答 : 求救 : 或是這不需要找出遠日點？ : 應該不可能吧？ 這題應該比算出一個值還要多一些考慮 我先寫出原本的計算問題 10R(v/2) = Rv' => v' = 5v，這只是切線速度分量而已 到達行星表面的速度V至少 >= v'，因為也有可能含有徑向速度分量 -GMm/(10R) + (1/2)mv^2 = -GMm/R + (1/2)m(V)^2 >= -GMm/R + (25/2)mv'^2 => 9GM/(10R) >= 12v^2 => v <= √[3GM/(40R)]此為初始速度最大值，而非題目說的最小值 所以問題不是只是算出一個極值，還必須考慮到底是最大值還是最小值 也就是問題並沒有完 設接近r = kR，k >= 1 10R(v/2) = kRV => V = 5v/k < 5v 令U = GMm/R，E = (1/2)mv^2 -GMm/(10R) + (1/2)mv^2 = (-GMm/r") + (25/2)m(V_t)^2 + (1/2)m(V_r)^2 V_r本身是k的函數 這裡有個問題：會不會初始速度一發射後，本來就根本連行星表面都碰不到？ 只用角動量和能量守恆可以算出一個極值，但是也無法解釋其他問題 假設到達某r = kR時，無V_r分量 -GMm/(10R) + (1/2)mv^2 = (1/k)(-GMm/R) + (1/k)^2 (25/2)mv^2 + (1/2)m(V_r)^2 => -U/10 + E = 25E(1/k)^2 - U(1/k) 令x = (1/50)(U/E)，可解出1/k 1/k_1 = x + √[x^2 - x/5 + 1/25] 1/k_2 = x - √[x^2 - x/5 + 1/25] 因為解的性質， 要求1/k_1 <= 1可解出v >= √[3GM/(40R)]， 到這裡才知道所解的極值是最小值， 不是最大值。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 36.227.118.40 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1709959510.A.60D.html ※ 編輯: Honor1984 (36.227.118.40 臺灣), 03/09/2024 15:08:52
推
03/09 15:38, 1月前 , 1F
這只是切線速度分量而已 <--- "距離最近"或"距離最
03/09 15:38, 1F
→
03/09 15:39, 1月前 , 2F
遠"的必要條件不就是 不能有徑向速度嗎？
03/09 15:39, 2F
推
03/09 15:44, 1月前 , 3F
距離R的時候，如果徑向還有速度，要不是會撞到地球
03/09 15:44, 3F
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03/09 15:44, 1月前 , 4F
不然就是速度還可以再慢一點(有離心的徑向速度)
03/09 15:44, 4F
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03/09 15:44, 1月前 , 5F
如果是拋物線呢？物體初始位置如果剛好在拋物線遠離
03/09 15:44, 5F
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03/09 15:45, 1月前 , 6F
行星的那半邊？這樣不見得存在只有切線方向的速度分
03/09 15:45, 6F
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03/09 15:45, 1月前 , 7F
量
03/09 15:45, 7F
推
03/09 15:50, 1月前 , 8F
我有點不太清楚你描述的情況
03/09 15:50, 8F
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03/09 15:50, 1月前 , 9F
你方便畫一張類似
03/09 15:50, 9F
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03/09 15:50, 1月前 , 10F
的圖 方便我了解你在描述的情況嗎？XD
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03/09 15:50, 1月前 , 11F
假設行星中心到近日點當作對稱軸，一半邊是接近近日
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03/09 15:51, 1月前 , 12F
點，一半邊是遠離近日點。如果初始位置及初始速度剛
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03/09 15:52, 1月前 , 13F
好都落在遠離近日點的那半支曲線，這樣物體丟出之後
03/09 15:52, 13F
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03/09 15:52, 1月前 , 14F
都不可能再碰上對稱軸上的近日或遠日點
03/09 15:52, 14F
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03/09 15:53, 1月前 , 15F
抱歉不太會使用軟體工具。你就把途中的軌跡改成躺著
03/09 15:53, 15F
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03/09 15:54, 1月前 , 16F
的拋物線，然後越來越遠離行星，縱使有接近的位置，
03/09 15:54, 16F
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03/09 15:54, 1月前 , 17F
徑像分量還是一直存在
03/09 15:54, 17F
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03/09 15:55, 1月前 , 18F
應該是說傾斜的拋物線，通過行星中心的對稱軸是斜的
03/09 15:55, 18F
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03/09 16:06, 1月前 , 19F
我的作法也無法解釋是否根本就到不了近日點，而是當
03/09 16:06, 19F
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03/09 16:07, 1月前 , 20F
近日點時的速度(只剩切線分量)，然後這個速度是最小
03/09 16:07, 20F
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03/09 16:07, 1月前 , 21F
值，另外還有個上限決定是否是橢圓軌道，但不是本題
03/09 16:07, 21F
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03/09 16:07, 1月前 , 22F
重點就是了
03/09 16:07, 22F
推
03/09 16:18, 1月前 , 23F
你看起來像是在說，需要證明"存在只有切線速度且
03/09 16:18, 23F
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03/09 16:19, 1月前 , 24F
質點距離地心只有R的情況"？
03/09 16:19, 24F
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03/09 18:44, 1月前 , 25F
對
03/09 18:44, 25F
→
03/10 04:50, 1月前 , 26F
我不太懂你們在考慮什麼問題而不直接解出物體運動
03/10 04:50, 26F
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03/10 04:51, 1月前 , 27F
的軌跡來判定。先忽略行星的大小，因為角動量不為0
03/10 04:51, 27F
→
03/10 04:52, 1月前 , 28F
軌跡就是二次函數的一部分，由|v|決定種類。那原題
03/10 04:52, 28F
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03/10 04:53, 1月前 , 29F
不會墜地就跟忽略行星體積後的軌跡不會進入|r|<=R的
03/10 04:53, 29F
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03/10 04:53, 1月前 , 30F
範圍是一樣的。
03/10 04:53, 30F
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03/10 04:57, 1月前 , 31F
你這篇一開始算的問題是「什麼狀況下會在某時達到
03/10 04:57, 31F
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03/10 04:58, 1月前 , 32F
r=R?」，所以算出來的是速度比某個值大就不可能。
03/10 04:58, 32F
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03/10 05:20, 1月前 , 33F
因為知道軌跡是二次曲線的一部分，加上初始角度知道
03/10 05:20, 33F
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03/10 05:21, 1月前 , 34F
一開始距離減少，所以一定會有最接近的時刻。假設最
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03/10 05:21, 1月前 , 35F
接近時的距離是|v|的連續函數，那有|v|趨近0和無窮
03/10 05:21, 35F
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03/10 05:22, 1月前 , 36F
大的極限分別是0和5R。那前一篇的解就可以確定是最
03/10 05:22, 36F
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03/10 05:22, 1月前 , 37F
小值。
03/10 05:22, 37F
推
03/10 11:49, 1月前 , 38F
現在情況比較像是在考慮怎麼樣"容易地說明"什麼速度
03/10 11:49, 38F
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03/10 11:49, 1月前 , 39F
下最多倒接近地心距離R的地方
03/10 11:49, 39F
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文章代碼(AID): #1bw-bMOD (Math)
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