Re: [代數] 一題倍數的問題
: 推 GameKnight : 取k=1~59共59項，可視為C(89,k)全部二項展開中刪除 09/05 18:03
: → GameKnight : 所有3倍數項而得 09/05 18:03
: → GameKnight : 有些數字沒湊好，我再想一下。 09/05 18:57
差不多是這樣沒錯。
在 Z/89^2Z 中
C(89,k)=89C(88,k-1)/k = (-1)^(k-1)89/k.
又
C(89,3k) = 89C(88,3k-1)/3k = 1/3 (-1)^(k-1)89/k = 1/3 C(89,k) = 1/3 C(89,89-k)
故所求為
C(89,1)+...+ C(89,88)-3(C(89,3)+...+C(89,87)).
設 f(x)=(1+x)^89-1-x^89, w 為三次 primitive root of unity。上式為
f(1) - ( f(1) + f(w) + f(w^2) ) = -( f(w) + f(w^2) ).
設 a = w+1。其滿足 a^2 = w 與 a^2-a+1 = 0.
f(w) = a^89 - (a^2)^89 - 1 = a^(-1) - a^(-2) -1 = -a^(-2)(a^2-a+1) = 0
故 f(w^2) 亦為 0。所求在 Z/89^2Z 中為0。
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能看到Ahlfors複變課本的這個世界真是美妙
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推
09/05 21:45,
7月前
, 1F
09/05 21:45, 1F
※ 編輯: cmrafsts (160.39.29.33 美國), 09/05/2023 22:07:12
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