[線代] Schur's讓T上三角的基底也會讓T*對角化嗎

看板Math作者 (God of Computer Science)時間3年前 (2022/09/13 00:34), 3年前編輯推噓2(2推 0噓 10→)
留言12則, 3人參與, 3年前最新討論串1/2 (看更多)
如題，課本的證明 https://imgur.com/qcfxQHX
有用到特徵多項式可完全分解的空間內 一定能找到一個 T* 的特徵向量 z，令 W := span({z}) 則 W⊥ 的特徵多項式也會完全 分解，我一樣可以繼續找到 T* 的特徵向量 z2 而且它和 z 垂直，依此類推，最終就能 找到 T* 的 eigenbasis {z, z2, ..., zn}。而這個 basis 恰好也是定理敘述會讓 T 上 三角的基底。只是我後來又發現，如果此基底是 T* 的 eigenbasis, 那麼根據矩陣元的 算法由內積而來，也會順便推得 T 是對角線矩陣造成跟定理矛盾。 想知道我對找到 T* 的 eigenbasis 的 claim 是否有誤，癥結點是在哪呢？ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 115.43.121.35 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1663000445.A.CF0.html
推
09/13 01:31, 3年前 , 1F
如果用矩陣看複數空間矩陣A和A*的特徵值不一定相等
09/13 01:31, 1F
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09/13 01:33, 3年前 , 2F
如果你是用A和A^T去推得對角,應該是不對在這?
09/13 01:33, 2F
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09/13 01:34, 3年前 , 3F
若用限定在實數特徵值,特徵多項式就沒有splits了
09/13 01:34, 3F
我只是想知道我的思考方式到底錯在哪而已，因為 W⊥ 內的任意向量都和 W 內的任意 向量垂直，而且過程中都是找 T* 的 eigenvector，根據歸納法，最後就會得到 T* 的 eigenbasis 了。 ※ 編輯: alan23273850 (115.43.121.35 臺灣), 09/13/2022 09:55:20
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09/13 10:28, 3年前 , 4F
欸乾 我好像找到我的盲點了，數歸法一開始n=1的時候
09/13 10:28, 4F
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09/13 10:30, 3年前 , 5F
根本沒有限制那個基底是什麼，自然沒保證是 T* 的
09/13 10:30, 5F
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09/13 10:30, 3年前 , 6F
eigenvector, 那 n=1 的時候不成立，之後也就不成立
09/13 10:30, 6F
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09/13 10:36, 3年前 , 7F
不確定是不是這樣。。。
09/13 10:36, 7F
簡言之，我的疑問：T 的特徵多項式 split ==> T* 可以正範對角化嗎？ ※ 編輯: alan23273850 (115.43.121.35 臺灣), 09/13/2022 10:44:38
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09/13 10:51, 3年前 , 8F
但是很明顯地 T 上三角 <==> T* 下三角，愈來愈怪了
09/13 10:51, 8F
推
09/13 10:53, 3年前 , 9F
Counter Example: [[1,1],[0,1]]
09/13 10:53, 9F
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09/13 10:54, 3年前 , 10F
這個矩陣的 characteristic polynomial 是 (x-1)^2
09/13 10:54, 10F
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09/13 11:01, 3年前 , 11F
如果樓上的例子保證 T* 不可對角化的話，我等等就來
09/13 11:01, 11F
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09/13 11:02, 3年前 , 12F
試試看課本的論證和我的認知到底差距在哪了！
09/13 11:02, 12F
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