Re: [機統] 兩獨立標準常態給定和小於0

看板Math作者arrenwu (不是綿芽的錯)時間4年前 (2022/07/28 19:43)推噓2(2推 0噓 7→)

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※ 引述《coastq22889 (chi_square)》之銘言： : 遇到一題給定 X, Y為兩獨立標準常態 : 求給定X+Y<0的情況下，X, Y的相關係數 : https://i.imgur.com/ar26bon.png

: 目前是想說分別算出X, Y的條件共變異數與條件變異數 : 但積分積不出來，不知道這個方向對不對 : https://i.imgur.com/hCcarMQ.jpg

: 懇請大家給點方向這問題等於是在問 X,Y ~ N(0,1) and i.i.d. 求: E[XY | X+Y <0] ∞ ∞ E[XY | X+Y <0] = ∫ ∫xy pdf(x,y| X+Y <0)dydx -∞ -∞ pdf_XY(x,y)*1{x+y <0}(x,y) 而這裡 pdf(x,y|X+Y < 0) = --------------- Pr(X+Y < 0) 其中 (1) pdf_XY(x,y) 是 X,Y 的 joint pdf, 也就是 exp(-x^2/2)*exp(-y^2/2)/2pi (2) 1{x+y<0}(x,y) = 1 , if x+y < 0 0 , otherwise 接著， ∞ ∞ E[XY | X+Y <0] = ∫ ∫xy pdf(x,y| X+Y <0)dydx -∞ -∞ ∞ -x =1/(2pi Pr(X+Y < 0)) ∫ ∫xy exp(-x^2/2)*exp(-y^2/2)dydx -∞ -∞ ∞ -x =1/(2pi Pr(X+Y < 0)) ∫xexp(-x^2/2)[∫ yexp(-y^2/2) dy] dx -∞ -∞ 剩下的積分就不難做了 -- 角卷綿芽給予炭治郎的建議 https://i.imgur.com/0mPdESk.jpg

https://i.imgur.com/Ts4dBjy.jpg

-- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 165.225.243.22 (美國) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1659008605.A.96D.html

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處理 E[X|X+Y<0] 那邊可以換一下積分順序因為 xexp(x^2/2) 的反導函數有closed form ∞ ∞ E[X | X+Y <0] = ∫ ∫x pdf(x,y| X+Y <0)dxdy -∞ -∞ ∞ -y =∫exp(-y^2/2)[∫xexp(-x^2/2)dx]dy / 1/(2pi Pr(X+Y < 0)) -∞ -∞ 確認一下，你應該知道下面這個? ∞ ∫exp(-x^2/2)dx = √(2pi) -∞

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