[微積] 泰勒展開在非零展開的意義是啥

看板Math作者 (阿龍)時間1年前 (2022/06/22 10:42), 編輯推噓3(3推 0噓 23→)
留言26則, 3人參與, 1年前最新討論串1/2 (看更多)
我知道泰勒展開是一種函數以多項式逼近的方式 也知道在零展開為馬克勞林展開 https://i.imgur.com/f9NIKcn.jpg
我很想問個問題 如果我今天想要算f(5) 那我x應該是代入5吧 那我a到底要代入什麼數字才會最準? 0嗎？還是5 我的直覺是要代5拉 我知道代入零是馬克勞林展開 那代入其他數字的意義到底是啥 我不能代入100嗎？ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 118.167.158.186 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1655865725.A.EC9.html
推
06/22 12:11, 1年前 , 1F
有的函數在 0 寫不出來, 這時就要在別處展開
06/22 12:11, 1F
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06/22 12:11, 1年前 , 2F
例如對數函數, 它在 0 沒定義所以你寫不出來
06/22 12:11, 2F
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06/22 12:12, 1年前 , 3F
一般來說對數函數會寫它在 1 的展開:
06/22 12:12, 3F
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06/22 12:12, 1年前 , 4F
ln(x)=(x-1)-(1/2)(x-1)^2+(1/3)(x-1)^3-...
06/22 12:12, 4F
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06/22 12:13, 1年前 , 5F
或是寫成 ln(1+x)=x-(1/2)x^2+(1/3)x^3-(1/4)x^4+..
06/22 12:13, 5F
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06/22 12:14, 1年前 , 6F
當然你對別處展開也行, 但係數你要算得出來
06/22 12:14, 6F
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06/22 12:14, 1年前 , 7F
(就是你要算得出 f^(n) (a) 的值)
06/22 12:14, 7F
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06/22 12:15, 1年前 , 8F
另外就是截圖中下面的話, 在哪邊展開影響收斂半徑
06/22 12:15, 8F
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06/22 12:16, 1年前 , 9F
像上面這級數的收斂半徑是 1, 就是 x 能代 (-1,1]
06/22 12:16, 9F
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06/22 12:16, 1年前 , 10F
代其他數進去得到的級數不收斂
06/22 12:16, 10F
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06/22 12:39, 1年前 , 11F
那如果我要算exp100,是不是就要代入x=100,a=100
06/22 12:39, 11F
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06/22 12:58, 1年前 , 12F
對某個 a 你要先算得出係數 f^(n) (a) 再說
06/22 12:58, 12F
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06/22 12:58, 1年前 , 13F
先寫得出級數出來再來看要代 x 是幾
06/22 12:58, 13F
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06/22 13:02, 1年前 , 14F
這樣吧, 先別多問, 你寫寫看 exp 在 a=100 的級數
06/22 13:02, 14F
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06/22 13:03, 1年前 , 15F
(應該不是很難才對) 寫出來之後你再代看看 x=100
06/22 13:03, 15F
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06/22 13:03, 1年前 , 16F
看會發生什麼事
06/22 13:03, 16F
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06/22 18:12, 1年前 , 17F
Exp微幾次都是他自己哈哈，我發現如果a代入100就直
06/22 18:12, 17F
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06/22 18:12, 1年前 , 18F
接退化了
06/22 18:12, 18F
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06/22 18:14, 1年前 , 19F
好像代入0比較好算，但是不知道跟代入99比哪個比較
06/22 18:14, 19F
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06/22 18:14, 1年前 , 20F
準
06/22 18:14, 20F
推
06/22 22:56, 1年前 , 21F
把原函數曲線想像成某個運動軌跡的話，a值就代表你
06/22 22:56, 21F
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06/22 22:58, 1年前 , 22F
在某個位置f(a)的運動速度f'(a),加速度f''(a),等等
06/22 22:58, 22F
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06/22 23:01, 1年前 , 23F
a值類似你的觀察點~
06/22 23:01, 23F
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06/23 20:58, 1年前 , 24F
所以為何對數函數要在1展開，不在2展開
06/23 20:58, 24F
推
06/23 23:26, 1年前 , 25F
我猜就係數好算/漂亮吧, 你也能試試在 2 展展看
06/23 23:26, 25F
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06/23 23:27, 1年前 , 26F
開頭就給你一個 ln2 是也不到不能算但就...
06/23 23:27, 26F
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