Re: [中學] 空間投影1題

看板Math作者arrenwu (不是綿芽的錯)時間2年前 (2022/03/23 10:53)推噓0(0推 0噓 1→)

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※ 引述《shenando (花椰菜)》之銘言： : ※ 引述《hero010188 (我是海賊王)》之銘言： : : https://i.imgur.com/JvzDtsk.jpg

: : 我知道面積是cos二面角倍 : : 但邊長也是cos倍嗎@@ : : 請問怎麼下手比較好 : : 設正三角形邊長為k，把平面E看成地面並將B點置於E上與B'重合，再用畢氏定理即可。 : 由題意知 k^2 = 4 + ( sqrt(k^2-9) + sqrt(k^2-12) )^2 : k^2 - 4 = k^2 - 9 + k^2 - 12 + 2sqrt(k^4-21k^2+108) : -k^2 + 17 = 2sqrt(k^4-21k^2+108) : 令k^2 = t，上式即 t^2 - 34t + 289 = 4t^2 - 84t + 432 : 3t^2 - 50t + 143 = 0 : t = 11/3 or 13 ，即 k = sqrt(13) (前者不合，因為k至少要是2sqrt(3)) : : 推 hero010188 : 強大! 怎麼想的XDDDDD 03/23 00:00 : → musicbox810 : 由哪個題意知道列那條算式？看不懂，而且怎麼知道取 03/23 00:08 : → musicbox810 : B而非A,C？ 03/23 00:10 : → musicbox810 : 首先必須先ABC高度在中間的點是B才可以這麼做，否則 03/23 00:14 : → musicbox810 : 根號與根號是想減，不是相加。 03/23 00:15 那我們寫個比較代數的過程好了用 O 表示空間中的原點，然後用 N 代表平面 E 的單位法向量，所以我們有 |N| =1 點 A,B,C 和其在平面上的投影 A',B',C' 的關係可寫成 OA = OA' + aN OB = OB' + bN OC = OC' + cN a,b,c 是三個跟點 A,B,C 與 A',B',C'差距的大小與方向有關的純量 AB = A'B' + (b-a)N → |AB|^2 = |A'B'|^2 + (b-a)^2 (N與 A'B'垂直且 |N|=1) = 4 + (b-a)^2 我們用同樣的手法可以得到 |BC|^2 = 12 + (c-b)^2 |CA|^2 = 9 + (a-c)^2 因為ABC是正三角形 |AB| = |BC| = |CA| 故我們有 4 + (b-a)^2 = 12 + (c-b)^2 = 9 + (a-c)^2 雖然我們看起來有3個變數卻只有2個等式，但其實如果我們用個變數代換: u = b-a, v= c-b 上面那個等式可以寫成 4 + (u)^2 = 12 + (v)^2 = 9 + (u+v)^2 這樣子就變成二元方程式了！接著可以解得 u^2 = 9 (或者 v^2 = 1) 所以邊長 |AB| = √13 -- 與角卷綿芽去KTV唱歌 https://i.imgur.com/VFmibkg.jpg