Re: 幾題級數求和

看板Math作者arrenwu (不是綿芽的錯)時間3年前 (2022/03/08 10:47)推噓7(7推 0噓 14→)

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※ 引述《ypeng0308 (aguang)》之銘言： : 想請問3.8.11 : https://imgur.com/BgYWYKZ

: 第8題我把原來的函數換成cos的樣子然後相乘 : 最後整理成 sigma(1->Infinity) (1/(2n-1)^2)*exp(i*theta)^n : 然後就不知道怎麼做了 : 3和11則是一開始就沒想法了我去看了一下 Mathematical Methods Of Physics (2nd Edition) by Mathews, Jon; Walker, Robert L 1971 第二章那內容太少了吧？感覺也沒教多少泛用的處理手法第8題我沒有想到太好的做法，想來請教一下有沒有什麼巧思之類的我先說明我的作法。定義 n Fn(x) = Σ sin(kx)/(2k-1) for x in (0,π). k=1 目標是求出 lim Fn(x) for each x in (0,π) n→∞ 因為我只會算像 Σsin(kθ)/k 這種級數，所以為了生出 1/(2k-1)這種係數，我定義 Gn: n Gn(x) = Σ sin((2k-1)x)/(2k-1) for x in (0,π) k=1 n Gn'(x) = Σ cos((2k-1)x) = sin(2nx)/(2sin(x)) k=1 那麼，但我們想要的是 Fn，那 Fn 跟 Gn 有啥關係呢？ n Gn(x/2) =Σ sin((2k-1)x/2)/(2k-1) k=1 n = Σ sin(kx-x/2)/(2k-1) k=1 n n = cos(x/2)Σ sin(kx)/(2k-1) - sin(x/2)Σ cos(kx)/(2k-1) k=1 k=1 n = cos(x/2) Fn(x) - sin(x/2) Σ cos(kx)/(2k-1) k=1 為了處理那個 Σ cos(kx)/(2k-1) ，我只好弄出個 Hn: n Hn(x) = Σ cos((2k-1)x)/(2k-1) for x in (0,π) k=1 n Hn'(x) =-Σ sin((2k-1)x) = (cos(2nx)-1)/(2sin(x)) k=1 n Hn(x/2) =Σ cos((2k-1)x/2)/(2k-1) k=1 n = sin(x/2) Fn(x) - cos(x/2)Σ cos(kx)/(2k-1) k=1 藍色*cos(x/2)和綠色*sin(x/2)可以得到 Gn(x/2)cos(x/2) = cos(x/2)^2 Fn(x) + sin(x/2)cos(x/2)Σ cos(kx)/(2k-1) Hn(x/2)sin(x/2) = sin(x/2)^2 Fn(x) - sin(x/2)cos(x/2)Σ cos(kx)/(2k-1) 上下相加可以得到 Fn(x) = Gn(x/2)cos(x/2) + Hn(x/2)sin(x/2) 目標是 lim Fn(x)，所以要分析 lim Gn(x/2) 和 lim Hn(x/2) 先處理 Gn，為了等一下方便把黃字裡面的 x 換成t。 n Gn'(t) = Σ cos((2k-1)t) = sin(2nt)/(2sin(t)) k=1 對兩邊進行對 t 的從 x 到 π/2 的定積分： π/2 Gn(π/2) - Gn(x) = ∫sin(2nt)/(2sin(t))dt x (integrate by part) π/2 = -cos(nπ)/(4n) + cos(2nx)/(4nsin(x)) + (1/8n)∫cos(t)cos(2nt)/sin(t)^2dt x 兩邊對n取極限，可得到： lim Gn(π/2) - lim Gn(x) = 0 所以對任何 x， lim Gn(x) = lim Gn(π/2) = 1-1/3+1/5-1/7 + - + - ... = π/4 故 lim Gn(x/2) = π/4 剩下的是 lim Hn(x/2) 類似 Gn，讓我們從 Hn的導函數開始 n Hn'(t) =-Σ sin((2k-1)t) = (cos(2nt)-1)/(2sin(t)) k=1 對兩邊進行對 t 的從 x 到 π/2 的定積分： π/2 π/2 Hn(π/2) - Hn(x) = ∫cos(2nt)/(2sin(t))dt - ∫1/(2sin(t))dt x x π/2 同樣用 intrgrate by part 的技術去論證 lim ∫cos(2nt)/(2sin(t))dt x n Hn(π/2) = Σcos(kπ-π/2)/(2k-1) = 0 k=1 π/2 所以 lim Hn(x) = ∫1/(2sin(t))dt x = ln[ (1+cos(x))/(1-cos(x))]/4 因此我們有 lim Fn(x) = lim Gn(x/2) cos(x/2) + lim Hn(x/2) sin(x/2) = π/4 cos(x/2) + sin(x/2)/4* ln[ (1+cos(x/2))/(1-cos(x/2))] Q.E.D. 但我總覺得複變函數論那邊應該有什麼有用的結論可以簡化這個過程。這過程會那麼麻煩是因為我把 cos 和 sin 分開處理如果換個方向，我定義一個函數 n Ln(x) = Σ e^(jkx)/(2k-1) k=1 那題目問的其實就是 lim Im( Ln(x) ) 而 Ln 我們可以很容易地寫出 n -2j Ln'(x) - Ln(x) = Σ e^(jkx) k =1 = = e^(jx)(1-e^(jnx))/(1-e^(jx)) 這樣就變成一個一階線性微分方程只是因為我複變...嗯基本算是忘光了就交給其他有能的人處理吧吃飯去～ https://twitter.com/Ganka_Illust/status/1498168693095682048/photo/1 https://pbs.twimg.com/media/FMqQSGjVUAMCMT_.jpg