Re: [分析] 瑕積分極限決定L^2的傅立葉轉換

看板Math作者LimSinE (r=e^theta)時間2年前 (2022/01/04 23:50)推噓13(13推 0噓 24→)

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與其問是不是trivial，倒不如說是routine 換言之，這些步驟看似繁瑣，但其實每一步都是在邏輯上非常直接的。我們可以一面回顧數學上嚴謹定義Fourier Transform進化史，一面回答這個問題 Step 1.定義 F{f}(y) = 積分(R) f(x) exp(2piixy) dx 這個定義式(至少表面上)只對f in L^1 有定義。此時積分絕對收斂，基本上瑕積分怎麼算都沒關係，我們還得到 F：L^1 -> L^infinity為有界算子(連續映射)。 Step 2. 然而F真正厲害的地方，是在它可以定義在L^2上，卻未必能用Step 1的積分式得到。因此需要迂迴定義，先證明對於 f in L^1交集L^2 總有積分(R) |f(x)|^2 dx = 積分(R) | F{f}(y)|^2 dy 得到F：L^1交集L^2 -> L^2 為連續，再利用L^1交集L^2 dense in L^2 唯一延拓到有界算子F：L^2 -> L^2。既然定義就這麼迂迴，實際計算一個L^2(卻非L^1)函數的Fourier Transform當然也不會很直接。我們必須 1. 找fn -> f in L^2, 其中fn in L^1交集L^2 2. 計算F{fn} 3. 求出F{fn} 在 L^2之極限g(必存在)，答案即是F{f} 在數學書上，通常這部證明都很隨意說，反正simple function 在L^1交集L^2裡啊然後simple function dense in L^2... 問題是實務上很難控制逼近f的simple function列，更遑論他們的Fourier transform [這根本像是用黎曼和去算黎曼積分] 比較實際的做法就是用瑕積分的觀點，以本題的例子，f(x)在有限範圍內根本有界，故取 fn(x) = f(x) if |x|<=n 0 otherwise 那fn就是滿足上述條件1.，而F{fn}也就是積分([-n,n]) ...的結果，於是完成了2.。最後3.，所謂的「工數書」也確實計算了F{fn}的極限h，但卻是逐點極限(或a.e.) 表面上和真正所要的L^2極限g不同。幸好兩者都可化為更弱的converge in measure，故有h=g=F{f} a.e. ，解決了這個問題。以上去除廢話，整理重點，就得到原Po提問的「會不會太繞路的證明」問題解決了，但Fourier進化故事還沒有完。(以下簡述，詳情請自行查閱) Step 3. 證明F：S→S為連續其中S為Schwartz space。 Schwartz space裡面都是超好的函數，本身都是L^1，照道理應該早在Step 1.就完成了。這一步最主要是要證明連續性，然而用意一時看不出來。 Step 4. 將F延拓至S'→S'，S'=S的對偶空間，又稱tempered distribution。利用f,g in L^2時有積分(R) F{f}(t)g(t)dt = 積分(R) f(t)F{g}(t) dt 將L^2函數與它的dual等同我們終於看到Step 3欲擒故縱的詭計了，將上式的g限縮在S中時，可擴大f的適用(定義) 範圍到S'。而S'就包含了惡名昭彰(?)的delta function，以及它的各階導數，基本上工數看得到的函數都逃不出S'。一樣的，既然定義是用詭計，實際計算時自然也不脫這個詭計。通常有一個方向比較好算，另一個方向使用Fourier inversion來推理。不妨留做習題 -- r=e^theta 即使有改變，我始終如一。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 27.105.54.161 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1641311400.A.DB4.html

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Vulpix

01/05 00:59, 2年前 , 1^F

01/05 00:59, 1^F

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