Re: [其他] 等號需要定義 & 集合需要等號嗎?

看板Math作者znmkhxrw (QQ)時間4年前 (2021/11/22 19:21)推噓4(4推 0噓 30→)

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不好意思原本想用推文的, 但是文字上很難描述我在推哪一段QQ ※ 引述《Vulpix (Sebastian)》之銘言： : 標題: Re: [其他] 等號需要定義 & 集合需要等號嗎? : 時間: Mon Nov 22 14:09:38 2021 : : 解決「矛盾」其實沒有必要這麼深入。 : : 我用 direct sum 講是因為你已經提到數列了，這是一樣的東西啦。 : : 除了 wiki 以外，你可以參照 Hungerford 的 Algebra p.149。 : : 多項式就是 (a,b,c,0,0,0,...) 這種數列， : : 重點是頂多只有有限項非零（項的概念直接從數列拿來用）。 : : 而有限項非零就是 Abelian group 的 direct sum（index set 是 {0}∪Ｎ）， : : 所以加法也直接從環的加法群結構生出來（不可視為環結構的 direct sum）。 : : 讓多項式環成為環，我們還需要乘法，這個用 convolution 定義。 : : 最後只要檢查一點性質就可以確認多項式集合是否真的是個環。 : : : 然後開始處理「表示法」，畢竟我們更習慣用 x 等不定元來表示多項式。 : : 首先最重要的就是 x。 : : 這個簡單，給 (0,1,0,0,0,...) 一個外號「x」就搞定了。 : : 順便注意一下 (0,1,0,0,0,...)^2 = (0,0,1,0,0,...) 是算得出來的， : : 所以 (0,0,1,0,0,...) 自動成為 x^2。 : : 再來是常數項： : : 把 R embed 到 R[x] 裡面，r 對應到 (r,0,0,0,...)。 : : 接下來「在不致混淆的情況下」，將 (r,0,0,0,...) 也稱呼為 r。 : : 這樣一來，(a,b,c,0,0,0,...) 就可以被寫成 a+bx+cx^2， : : 同時也可以是 a+cx^2+bx+0x^100 等「長相」， : : 雖然這個長相不是唯一的，但他們都只是 (a,b,c,0,0,0,...) 的外號。以上了解! : : 這樣看下來，多項式是函數嗎？ : : 那個數列看起來跟 R→R 的函數是八竿子打不著的吧，所以多項式不是函數。 : : 然後我們就給他第九竿(X) 我原本先看推文還去google第九竿是什麼梗...原來在這XDDDDDDDDDDD : : 考慮 R[x] 裡面的某個元素 s，定義一個函數 f_s:R→R，f_s(r) = g_r(s)， : : 其中 g_r 是 evaluation homomorphism at r， : : 例如 g_r( (a,b,c,0,0,0,...) ) = a+br+cr^2，或者 g_r(a+bx+cx^2) = a+br+cr^2。 : : s 是多項式，而 f_s 是可以用多項式 s 表示的函數，所以 f_s 叫做多項式函數。 : 好奇一下我不能直接定義 f_s(r) := a+br+cr^2, where s = (a,b,c,0,0,0,...)嗎@@? 因為s的數列長相是唯一的, 不會有不well-defined的問題 : : 關於為什麼一定要區分多項式和多項式函數： : : 我在原文推文有提到 Z/2Z 上 x^n（n>0）全都是同一個多項式函數， : : 但從數列定義來看他們彼此明顯是不同的多項式。 : : 甚至講得極端一點，考慮 affine algebraic set {0,1} in Ｃ， : : f(x) = sin(πx/2) 也是他上面的「多項式函數」，因為可以用多項式 x 表示。 V大提到f(x) = sin(πx/2)這個例子, 就讓我想到我原文就是想說如果我沒有搞清楚《多項式不是函數那是什麼》我就沒辦法回答《f(x) := 0*sin(x)有沒有在R[x]內》順帶一提, "0*sin(x)沒有在R[x]內"這句話是對的嗎? 原本我認為答案是: 沒有定義, 因為R[x](照V大的構造)的等號是數列相等而等號只定義在可以比較的對象, 這裡就是指數列間才能說是否相等但是後來這個解釋有點不合理, 因為我原文的推文討論中有關: (1) "有沒有在集合內" 牽扯到"屬於" (2) "屬於" 並非從"等號"去定義的因此我不能用"不能相比等號" 來說 "0*sin(x)不能討論是否屬於R[x]" 結果這塊問題還是回到原點... 舉個簡單的例子, 不能對Z與Z_2取交集, 無定義, 無法討論x€Z => x€Z_2 or not 但是如果全部化約成ZF集合公設就沒這問題了, 所有建構的都是集合自然可以推導出Z∩Z_2 = φ 最後的答案還是dependent on系統選擇@@? : : : Herstein 定義的多項式相等，其實只要把「definition」拿掉應該就不會讓你混亂。 : : 他實際上只是把我們怎麼檢查兩個數列是否一樣換句話說而已。 : : 你可以懷疑這個定義是否與「多項式相同」等價，但這只要證明就好。 : : 總之他並不是試圖去「另外定義」一個等號， : : 就這點來說，確實不適合用定義稱呼。我反而覺得留著是有必要的耶: (1) 如果以V大建構的(a,b,c,0,0,0,...)來說, 等於是宣稱這裡的等號採用的是數列等號 (2) 如果是以a+bx+cx^2這種形式來說, 等於是宣稱這裡的等號定義為係數相等所以我沒有認為他是另外定義, 我認為他是照下面的定義流程, 我才在原文問說下面這個流程是否人人都可做(不考慮化約成ZF, 單純照直覺的後設語言) (i) 定義元素(某個form) (ii) 定義集合(收集全部或是某些form) (iii) 定義等號: 但是是否要符合等號定義, 等號的定義又是什麼如果採取萊布尼茲定義又如何檢驗符合定義 : : : 至於所謂「很大的字串集合和很大的等價關係」則是從表示法開始定義多項式， : : 這是許多國中生的學習歷程。 : : 現在課綱所下的定義：由數和文字符號進行加法和乘法運算所構成的算式，稱為多項式。 : : 既然他講到「加法」和「乘法」，以國中生所學， : : 會認為結合律、交換律、分配律等交換環的結構都是自然存在的， : : 另外還有「加 -a」就是「減 a」和「減 -a」就是「加 a」。 : : 上面的結合律等計算規則，就形成字串的等價關係。 : : 但這個等價關係有點大，光是 1-x 的等價類裡面就塞了很多東西，對耶... 1-x = 1+(-x) = (-x)+1 = 1+(-1)*x = (-1)*x+1... : : 「項數」不好定義、「deg」不好定義、「係數」不好定義， : : 很多我們談到多項式的時候愛用的性質、名詞都不好定義。 : : 雖說不是不能定義，但通常都必須在等價類裡面挑出「最簡」的字串再來談。 : : : 更何況等價類太大的時候還有可能出意料之外的岔子， : : 雖然多項式應該是遇不到的，但要保證的話好像又要一條定理。 : : Tensor product 是很有用而且有趣的運算， : : 常見的定義就是要把 direct product 拿去當「基底」做成一個超大的 module， : : 然後再除掉一個超大的等價關係。 : : 在看過 R[x] 和 R[y] 運算成 R[x,y] 之後， : : 怎麼會想到 Z/2Z 和 Z/3Z 居然算出 0 來呢？ : : 要是我們除掉的等價關係太大，一個不好可能會得到很小的 quotient set， : : 這點須要驗證，但因為等價關係太大所以下手驗證的痛苦指數太高。 : : 所以最後定義多項式的時候都傾向繞過這個說法。意思就是等價類定太小的話, 很多"一樣"的東西就會不一樣, 像是1+x=x+1 但是定太大的話, 很多一樣的東西卻對某些定義不well-defined? 即長相不同導致不同的值 : : : 至於數學基礎方面我就不是很熟了， : : 我大概就是集合論柏拉圖主義者吧！我可能連化約都懶得化約了, 懶惰的集合論主義者XDDDD 只是突然那麼一剎那覺得不舒服的時候, 就出現一卡車的問題QQ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 61.231.64.215 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1637580060.A.59C.html

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