[其他] 等號需要定義 & 集合需要等號 嗎?

看板Math作者 (QQ)時間4年前 (2021/11/19 03:40), 4年前編輯推噓19(19推 0噓 177→)
留言196則, 9人參與, 4年前最新討論串1/7 (看更多)
如題這個問題, 以前是我覺得走火入魔/哲學才會問的問題... 但是最近遇到(E1),(E2)兩個例子的矛盾讓我不得不嚴格對待下列問題: ===== 可先看後面的例子(E1), (E2)就知道為什麼會問以下問題 ====== (Q1) 給定一個集合後, 可以不給等號的嗎? 換句話說, 一個集合可以給不同的等號嗎? 如果可以, 等號不唯一囉!? (Q2) 要回答Q1的話, 必須知道等號的定義是什麼? wiki是說等號會滿足四個性質(但也沒說這是等號的定義): (1) x=x (2) if x = y then y = x (3) if x = y, y = z then x = z (4) if x = y then for any predicate P, we have P(x) = P(y) 姑且當上面這四點是等號的定義好了, 但是(4)要如何檢查... 而有reference是把(4)寫成"for any function" 但是我覺得不恰當, 因為function的定義要先有集合的等號定義, 不然會循環定義 因此假設(4)可以檢查好了, 我們就可以隨便給定集合後, 去定義在這集合上面的 等號, 只要他滿足(1)~(4)即可? (Q3) 如果Q1對, 這樣看起來是給了集合才給了等號, 但是對於《0.5不屬於Z》這句話 就矛盾了, 因為如果等號只定義在Z, 根本無法規範0.5是否在Z裡面 我的意思是, 要說一個元素x有沒有屬於一個集合S, 前提要是有個等號是可以比較 {x}聯集S的所有元素嗎? 但是聯集本身又涉及等號定義... Q3目前怎麼想怎麼卡...充滿一堆不精確的矛盾語言 (Q4) 不管在群,環,體,向量空間...這些帶有特定結構的集合S 他們的定義中一定有出現等號, 是不是邏輯上就是假設S上具有一個等號 , 即此等號具有Q2的(1)~(4) 今天如果這些結構集合是拿已經定義完的N, Z, Q, R, C...這些集合, 當然沒問題 但是如果是 S:={西瓜, 水果, ptt}, 我們就必須定義這些元素是什麼, 然後再定義 等號, 運算, 之後才能說(S, =, op)是某種結構吧? ================================================================ (E1) 在Herstein的代數中定義多項式環時, 他有先定義兩個多項式相等為係數相等 這代表Q1跟Q2的答案是肯定的囉? 也就是說, 順序如下: (1) 先寫出一個集合R[x]叫做多項式集合, 收集了所有形如a_n*x^n+...+a_0的物件 (2) R[x]的存在性目前不涉及等號, 只是如果我們如果要討論 《屬於, 包含, 子集, 元素個數...》這些名詞的話, 就要先定義等號, 因此這裡採取"係數相等"為R[x]的等號定義 (3) 去證明這個等號定義符合Q2的(1)~(4) 如果嚴格說來是這樣沒錯, 那怎麼證明Q2的(4)? 如果不是這樣, 那又是如何呢? (E2) Z = {所有整數}, 我們可以由皮亞諾公設與ZF公設去說他已經有等號了 像是 1 != 2, 1 = 1... 接著考慮equivalence relation的話, x,y€Z, x~y iff x-y is even 就可以定義 Z_2 := {[x]│x€Z}, where [x] := {y€Z│x~y} 然後藉由集合的相等定義來當作Z_2的等號, 因此#Z_2 = 2 所以目前的邏輯跟(E1)一致: (1) 定義出Z_2 (2) 定義等號為集合相等 且默認集合的相等是符合Q2的(1)~(4)的 但是今天我能不能這樣做: (1) 在Z上定義新的等號叫作"%", 定義為: x,y€Z, x%y iff x-y is even (2) 證明%符合Q2的(1)~(4) 然後說Z在%的等號定義下#Z=2 可能有人會說《%根本就是~》, 但是我會舉這個例子是要跟(E1)對比: 【如果R[x]的等號是需要定義的, 那我為什麼不能在Z上重新定義等號】 --------------------------------------------------------------------------- 總之, 這些牽扯到哲學, 邏輯公設, 公設...的東西我本來就不想鑽 但是目前我解決不了(E1)與(E2)的矛盾... 還是要解決矛盾就真的要碰這些... 這些問題如果有確切答案的話, 再請版友告知 如果單純分享想法也歡迎, google到的reference也是大多是"分享" 好像沒有嚴格定義說這些答案是什麼... 謝謝幫忙~ 再依分享人數量力回饋P幣, 感恩~ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 59.102.225.191 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1637264455.A.B9B.html
推
11/19 07:42, 4年前 , 1F
集合論Axiom of extension直接送你等號？
11/19 07:42, 1F
peano跟ZF都直接承認, 所以沒有懷疑過XDD
→
11/19 08:45, 4年前 , 2F
那四個條是等號的公理 也就是證明可以直接引用 這
11/19 08:45, 2F
→
11/19 08:45, 4年前 , 3F
是介定等號在語法層次的使用
11/19 08:45, 3F
→
11/19 08:48, 4年前 , 4F
討論等號在語意層次的定義 那真的就是哲學問題了
11/19 08:48, 4F
→
11/19 08:51, 4年前 , 5F
另外 問"怎麼檢查"其實就已經不是古典邏輯式的思考
11/19 08:51, 5F
→
11/19 08:51, 4年前 , 6F
而是constructive mathematics式的思考
11/19 08:51, 6F
→
11/19 08:55, 4年前 , 7F
就是因為"怎麼檢查"沒有令人滿意的答案 目前已有很
11/19 08:55, 7F
→
11/19 08:55, 4年前 , 8F
多人討厭用集合論當作數學的基礎 而用HoTT當作數學
11/19 08:55, 8F
→
11/19 08:55, 4年前 , 9F
的基礎 在HoTT裡可以"不用等號做數學"
11/19 08:55, 9F
→
11/19 09:07, 4年前 , 10F
回到古典數學 嚴格來說你那些關於代數的段落都是語
11/19 09:07, 10F
→
11/19 09:07, 4年前 , 11F
法層次上證明的規則而已
11/19 09:07, 11F
所以在用集合論當作基礎下, 自己定義等號是合法的, 或是說沒有一致的定義說你錯, 直 到別人發現你這個等號自相矛盾(見下(E3))之前你都是對的? 所以(E1), (E2)都是合法的 , 可以在Z定義新等號? (E3) 在Z定義新等號為: x@y iff x*y = 0 然後發現"@"不滿足遞移性, 即x=1, y =0, z = 2時, 我們有x@y且y@z但是x!@z 從(E3)可見自定義等號非常危險, 所以能盡量不這麼做就不這樣做, 像是(E2)能用equiva lence relation就用, 不要去新定義等號, 而(E1)的自定義等號嚴格算起來到現在都沒錯 誤(因為照r大你說的目前沒有公認的定義)所以就用到現在? 另外(E1)跟朋友討論起來可以用ring的sequence來定義polynomial來避開自定義等號的問 題, 因為sequence是function, 而函數有集合論的定義, 我集合論又送你等號, 所以結合 r大你的說法, 這算是一種完善(E1)的方式了?
→
11/19 11:33, 4年前 , 12F
你要問這個問題 就要先說你的Z是什麼 如果是標準集
11/19 11:33, 12F
→
11/19 11:33, 4年前 , 13F
合論裡定義的Z 它必然得繼承集合的等於 (嚴格來說
11/19 11:33, 13F
→
11/19 11:33, 4年前 , 14F
Z已經是用N上的equivalence class定義的了 而N裡面
11/19 11:33, 14F
→
11/19 11:33, 4年前 , 15F
的每個東西都是集合)
11/19 11:33, 15F
意思是說, 我採用集合論構造的Z的話, 就沒必要定義新的等號? 那如果我真的要像(E2)那樣為Z定義新等號, 其實是合法的, 只是有風險? 另外想問一下r大, 我最終想要得到的答案/看法是為什麼: (E1)的R[x]要自己定義等號, (E2)的Z不用 這個問題的答案是什麼呢? 是否是: (E1)的等號是尚未定義, 所以一定要定義 (E2)的等號已經有公設的集合等號可以用, 沒必要定義新等號, 要新定義也可以, 風險自負
→
11/19 13:29, 4年前 , 16F
polynomial ring算是引入formal symbol x到你的語
11/19 13:29, 16F
→
11/19 13:29, 4年前 , 17F
言裡 所以要介定x的使用方式
11/19 13:29, 17F
→
11/19 13:38, 4年前 , 18F
另一種polynomial ring的建構方法是拿union of se
11/19 13:38, 18F
→
11/19 13:38, 4年前 , 19F
t of n-tuples, n=0,1,2,...在上面定義加和乘 那麼
11/19 13:38, 19F
→
11/19 13:38, 4年前 , 20F
就可以沿用集合論意義下數組的等同
11/19 13:38, 20F
也就是說在集合論下(E1),(E2)都可以有沿用公設等號, 不用定義等號的定義方式 因此也沒必要承擔自己定義等號所帶來的風險 而"到底能不能自定義等號", 理論上符合等號公設那四點就可以 只是第四點很難有大家都接受的檢查方法, 因此盡量避開自定義等號 舉例來說, 今天如果我自定義集合與等號後證明了某個猜想 而這個證明過程目前沒辦法用集合論/公設整套改寫取代 那這個證明就是有人接受, 有人不接受的哲學問題了? 上述這三段如果都跟r大的想法是一致的話, 那我就沒問題了 再請你check一下~感恩
推
11/19 16:08, 4年前 , 21F
直觀上,我覺得等號這個relation是用來區分集合內的
11/19 16:08, 21F
→
11/19 16:08, 4年前 , 22F
元素是否相同/異,這樣想我就不覺得有矛盾的問題(逃
11/19 16:08, 22F
推
11/19 16:46, 4年前 , 23F
同上，等號就是相同。而且萊布尼茲確實是用4當定義
11/19 16:46, 23F
→
11/19 16:46, 4年前 , 24F
。
11/19 16:46, 24F
→
11/19 16:47, 4年前 , 25F
然後集合論應該是把等號放在屬於後面才定義的。
11/19 16:47, 25F
P大V大, 原本我也直觀的認為等號就是相同, 一切都沒有問題 但是直到遇到多項式環R[x]的矛盾解釋, 讓我的直觀受到衝擊: R[x]裡面的元素是函數嗎? (1) 是: 那直接拿函數的等號當等號的話, 在#R是finite時, 會遇到係數不唯一的問題 要解決這問題就必須重新定義等號, 但是從這篇討論又覺得自定義等號很危險 (2) 否: 那到底是什麼? 而即便說不是函數, 而是一些"長相"如a_n*x^n+...+a_0的物件時 接著像代數教科書去定義等號為係數相等, 為什麼他這裡就能自定義等號? 總之, 如果有直觀上的解釋去回答《R[x]裡面的元素是函數嗎?》 我也不想碰自定義等號這個問題... 但是現況是R[x]確實自定義等號了, 我才會好奇說什麼時候可以自定義等號 P.S. R[x]可以用數列來避開自定義等號, 或許是目前的解答?
→
11/19 17:02, 4年前 , 26F
你自創一套定義與規則 能保證把它加入現有數學後不
11/19 17:02, 26F
→
11/19 17:03, 4年前 , 27F
會產生矛盾嗎? 事實上 數學家追求基礎的根本原因就
11/19 17:03, 27F
→
11/19 17:07, 4年前 , 28F
是這個 把所有數學理論都化約為集合論的衍伸 函數就
11/19 17:07, 28F
→
11/19 17:07, 4年前 , 29F
是集合論裡的函數 等同就是集合論裡的等同 等等 則
11/19 17:07, 29F
→
11/19 17:08, 4年前 , 30F
只要相信ZFC是無矛盾的就足以保證數學各理論之間是
11/19 17:08, 30F
→
11/19 17:09, 4年前 , 31F
相容的
11/19 17:09, 31F
→
11/19 17:12, 4年前 , 32F
不過通常一般數學理論的書可以視為foundation-free
11/19 17:12, 32F
→
11/19 17:15, 4年前 , 33F
裡面制定一些公理 接著用這些公理和邏輯規則進行"證
11/19 17:15, 33F
→
11/19 17:16, 4年前 , 34F
明"這個符號遊戲 但符號本身的詮釋 主流當然是以集
11/19 17:16, 34F
還有 128 則推文
還有 23 段內文
→
11/21 14:12, 4年前 , 163F
其他的等號 都只是自定義的 equivalence relation
11/21 14:12, 163F
→
11/21 14:13, 4年前 , 164F
當你定義完 relation 之後, 可以把它給 quotient 掉
11/21 14:13, 164F
→
11/21 14:14, 4年前 , 165F
例如在 Z 中設計 a~b if 5|a-b
11/21 14:14, 165F
→
11/21 14:14, 4年前 , 166F
那就可以做出一個 C = Z/~
11/21 14:14, 166F
→
11/21 14:15, 4年前 , 167F
此時 C 上面的元素 就能套用集合論的 = (4) 來使用
11/21 14:15, 167F
推
11/21 14:21, 4年前 , 168F
所以你可以說 除了ZFC 我們沒有自定義過等號
11/21 14:21, 168F
→
11/21 14:22, 4年前 , 169F
只有先等價關係 然後除掉而已
11/21 14:22, 169F
確實在集合論中其中一個Path是: (1) 只有一個等號"=" (2) 其他的就是equivalence relation "~" 只是承你說的"其他的等號 都只是自定義的 equivalence relation" 我(E2)就是在討論這件事情: 我們《能不能說(2)的"~"是一個自定義等號》 假設可以的話, 首先我不知道如何檢查(Q2)-(4) 再來針對"能不能, 需不需要"的討論就是我回覆c大的, 複製過來: --------------------------------------------- (Z , =): 皮亞諾公設定義出來的Z以及集合的等號"=" (Z/nZ, =): 對於a,b€Z, 藉由定義a~b := n│a-b & [a]:={b€Z│a~b} Z/nZ := {[a]│a€Z} 其中"="也是集合的等號 我對(E2)的問題是, 我能不能做以下這件事: (Z, @): "@"是我定義的新等號, where a@b := a~b 目前的答案結論是: (1) 可以, 因為可以化約成(Z/nZ, =)的語言 (2) 如果沒有檢驗(1), 那也可以, 只是就是平行集合論的數學語言 (3) 她明明就是(Z/nZ, =), 沒必要自找麻煩寫成(Z, @) 只是我後來發現有理數的表示與等號根本就是(E2)的問題阿 我們不會寫" 1/2~2/4 & [1/2]=[2/4]", 而是直接寫1/2=2/4 所以代表我如果要把(Z/nZ, =)寫成(Z, @)也可以吧? 只要有共識就好了 ---------------------------------------------
推
11/21 14:42, 4年前 , 170F
另外提一下 "0.5在Z裡面" 這句話
11/21 14:42, 170F
→
11/21 14:43, 4年前 , 171F
當你定義 0.5 的時候, 事實上實數 R 已經出來了
11/21 14:43, 171F
→
11/21 14:43, 4年前 , 172F
因此你是在 R 內部討論 0.5 有沒有在 Z 裡面
11/21 14:43, 172F
→
11/21 14:43, 4年前 , 173F
而只要 R 的相等有定義(本來就有定義 因為它是集合)
11/21 14:43, 173F
→
11/21 14:43, 4年前 , 174F
那這句話說法就沒問題 可以判斷
11/21 14:43, 174F
→
11/21 14:44, 4年前 , 175F
若兩個數學對象在“各個方面都相同”，則稱他們是
11/21 14:44, 175F
→
11/21 14:44, 4年前 , 176F
相等的。這就定義了一個二元謂詞等於，寫作「 =」
11/21 14:44, 176F
這文字上當然可以接受, 至少在我詢問R[x]到底是什麼之前都是這麼接受的XD 只是問了之後, 就有寫在樓下P大的那兩個分支討論
→
11/21 18:22, 4年前 , 177F
多項式和函數應該都有各自的定義.這個能接受的話應
11/21 18:22, 177F
→
11/21 18:23, 4年前 , 178F
該就沒問題了吧(?)
11/21 18:23, 178F
對阿, 只是會有這個討論就是我認為代數課本還有WIKI上的多項式的定義怪怪的 (1) 如果不怪, 那我也可以自定義等號囉 (2) 如果怪, 那又是什麼 所以才會有針對(1), (2)的一堆討論XD
推
11/21 23:30, 4年前 , 179F
11/21 23:30, 179F
→
11/21 23:30, 4年前 , 180F
這幾個為什麼需要定義等號才能討論？
11/21 23:30, 180F
因為原本我是照粗淺的定義: (1) x屬於S := 存在s屬於S 使得 x=s (2) A包含B := 對於所有的b€B, 都存在a€A 使得 b=a (3) 子集 := blabla (4) 元素個數 := blabla 但是之後我發現(1)中根本循環定義, 因此開始追本溯源 即便以集合論為基底, 根本也沒有"屬於"的定義 查了一些資料, 目前最能接受的是: 集合公設裡面的"屬於"只是一個符號(雖然意義上代表元素裡面的成員) 而這個符號具有怎樣的性質, 就是其他公設所賦予的 舉例來說為什麼" x€{x} "是對的, 因為他有給定€這個符號以及axiom of pairing =====================P幣結算================================================= 不好意思因為身家有限, 之後討論的版友就不答謝P幣了 以下名單與金額是我用稅後總額3000加入四個條件去計算的: (1) 照推/→文行數的比例分總額 (2) 小於100的給100 (3) 大於1000的給1000 (4) xcycl大以回文的方式, 算30行 名單與金額(稅後): LimSinE: 100 recorriendo: 1000 PPguest: 272 Vulpix: 415 FanFlyAway: 100 TimcApple: 286 TassTW: 100 cmrafsts: 286 a23200674: 100 xcycl: 429 謝謝大家的分享與討論~^^ =============================================================================
→
11/22 11:20, 4年前 , 181F
11/22 11:20, 181F
→
11/22 11:21, 4年前 , 182F
這是英文wiki對一般多項式的定義,原po也無法接受嗎?
11/22 11:21, 182F
→
11/22 11:24, 4年前 , 183F
(a0,a1,a2,...,an)和a0+a1*x+a2*x^2+...+an*x^n
11/22 11:24, 183F
→
11/22 11:25, 4年前 , 184F
左邊ai在第i個位置,對應到右邊,ai在x^i係數的位置
11/22 11:25, 184F
→
11/22 11:27, 4年前 , 185F
個人覺得兩者是"一樣"的,能接受左邊的話,沒道理右邊
11/22 11:27, 185F
→
11/22 11:30, 4年前 , 186F
的就無法接受.會不會是對右邊的型式想太多,加了料?
11/22 11:30, 186F
推
11/22 11:42, 4年前 , 187F
個人覺得代數課本對等號的"定義",只是因為怕讀者搞
11/22 11:42, 187F
→
11/22 11:44, 4年前 , 188F
混,所以補充說明,直觀得覺得在定義多項式時,等號就
11/22 11:44, 188F
→
11/22 11:45, 4年前 , 189F
內含在裡面了,所以也沒有所謂自定義等號
11/22 11:45, 189F
我是很不喜歡把問題歸類到"接受度"的層面, 因為長久以來我認為有明確定義的東西 無關接受度, 只有對錯之分 而今天"多項式a0+a1*x+a2*x^2+...+an*x^n"到底是什麼, 讓我有接受度的疑義 因此我才會認為是定義我沒搞清楚, 所以才會想問他是《什麼》 回頭來說"(a0,a1,a2,...,an)和a0+a1*x+a2*x^2+...+an*x^n"這件事 我會覺得大多數定義還是寫成右邊是為了"保留有代值的空間" 但是一開始就說他可以代值, 又會變成函數 所以才會有語言敘述上的模糊地帶 (定義上是左邊tuple/sequence, 但是隨時會當成function) 至於自定義等號這件事情我還是覺得有耶 (1) 以(a0,a1,a2,...,an)來看: (i)以ZF集合論來看: 就只有唯一的等號, 而數列是函數, 函數相等的定義所採用的 的等號就是ZF集合論那個等號 (ii) 以"符號"來看: 兩個tuple相等單純就自己定義成是每一項相等 (2) 以a0+a1*x+a2*x^2+...+an*x^n來看: (i) 化約成ZF集合論, 即回到(1)-(i) (ii) 以"符號"來看: 兩個多項式相等單純就自己定義成是每一項相等
→
11/22 20:22, 4年前 , 190F
抱歉用了你不喜歡的詞,因為你說覺得怪怪的,所以就想
11/22 20:22, 190F
→
11/22 20:23, 4年前 , 191F
說你還無法接受那個定義.看到(2)-(i),是否代表你現
11/22 20:23, 191F
→
11/22 20:28, 4年前 , 192F
在覺得那個定義已經是明確的定義?
11/22 20:28, 192F
欸欸誤會啦, 我反而是認同你問我"是否無法接受", 所以我才說這已經是接受度的問題了 而我本身不喜歡接受度的問題就是如上面說的, 在我的邏輯中, 如果都嚴格定義也接受 了這個定義, 那後續就只剩對錯, 無關接受度了 而今天這系列問題是在我自行思考"多項式到底是什麼"時, 竟然會回推到接受度的問題, 就是一堆"這樣寫合不合法", "我能這樣定義嗎"的問題 而這些思考結果自然會讓我檢討"是不是我哪裡搞錯/複雜了" 至於上面(2)-(i)要表達的是在我接受"能化約成ZF集合論就是正確的"這個事實的話 那(2)-(i)的脈絡就OK 不過現在我也能接受(2)-(ii)了XDDDD 反正討論下來大部分都是要細究數學建構, 邏輯論 之類的, 我本來就沒涉獵只是閱讀而已, 就接受很OK ※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 11/23/2021 00:47:20
→
11/23 08:44, 4年前 , 193F
偷偷說 接受度問題到底都會碰到的 就算全部化約成
11/23 08:44, 193F
→
11/23 08:44, 4年前 , 194F
集合論 最後還是得卡在接不接受large cardinal
11/23 08:44, 194F
→
11/23 08:45, 4年前 , 195F
集合論柏拉圖主義就是指無條件接受集合論宇宙(set
11/23 08:45, 195F
→
11/23 08:45, 4年前 , 196F
-theoretic universe)的存在
11/23 08:45, 196F
‣ 更多 znmkhxrw 的文章
文章代碼(AID): #1Xbgn7kR (Math)
討論串 (同標題文章)
以下文章回應了本文 (最舊先)：
完整討論串 (本文為第 1 之 7 篇)：
排序： 最新先 | 最舊先 | 留言數
在新視窗開啟完整討論串 (共7篇)
‣ 更多 znmkhxrw 的文章
文章代碼(AID): #1Xbgn7kR (Math)