Re: [其他] 等號需要定義 & 集合需要等號嗎?

看板Math作者znmkhxrw (QQ)時間4年前 (2021/11/22 04:06)推噓3(3推 0噓 30→)

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※ 引述《xcycl (XOO)》之銘言： : 標題: Re: [其他] 等號需要定義 & 集合需要等號嗎? : 時間: Mon Nov 22 01:07:02 2021 : : 先從有比較明確問題的回應 : : 1. 如果考慮在沒有 = 的後設語言（或稱邏輯系統） : 那在集合論中 = 的定義就是用 Axiom of Extensionality， : 直覺來說就是具有一樣元素的視為一樣。一樣元素 : 這件事情不需要比對，單純用 implication => 就夠了。不過看了wiki的ZF陳述與Axiom of Extensionality, "具有一樣的元素"這回事其實是需要"屬於"的定義的只是如同回覆原文a2大一樣, 在我往上追"屬於"的定義時, 查到這個結論: 集合公設裡面的"屬於"只是一個符號(雖然意義上代表元素裡面的成員) 而這個符號具有怎樣的性質, 就是其他公設所賦予的 : : 2. 在一階邏輯系統下，常見的定義是 Leibniz equality。 : 直覺來說是 x = y 若對所有 predicate P 都有 P(x) 跟 P(y) 等價 : （細究的話還要考慮邏輯系統怎麼建構設計的，要怎麼定義 P(x) 這類操作） : : 像是 reflexivity, symmetry 跟 transitivity 可以用這個定義導出來。 : : 系統上有了 = 之後，集合論上的 Axiom of Extensionality : 敘述會修改成適合的形式，改成「對所有 x 在 A 為若且若 x 在 B」可推得 A = B。 : 反過來從 Leibniz equality 可以得出。 Wiki上寫的Leibniz equality確實就是定義成對所有 predicate P, P(x) <=> P(y) 只是反射、對稱、遞移竟然可以由萊布尼茲的定義推出來我蠻訝異的XD 也就是我原文的等號四公設其實可以保留第四個即可另外你說"細究的話還要考慮邏輯系統怎麼建構設計的，要怎麼定義 P(x) 這類操作" 這應該就是呼應我說的"即便自定義等號, 我不知道怎麼檢查第四公設" 最後你說的"拓展公設可以改成「對所有 x 在 A 為若且若 x 在 B」可推得 A = B" 我不太懂耶, wiki的那條公設本來就是這樣寫, 難道這公設有更廣的原型嗎? : : 3. 後設語言上的「函數」跟集合論上的函數是不同層次的東西， : 可以用純符號規則，定義出後設語言上函數的操作定義， : 這一層獨立於集合論，沒有循環論證的問題。 : : （認為函數就是集合論定義的那套才是狹隘的觀點）原來集合論的函數定義是狹隘的... 我一直以為集合論的函數定義才是嚴謹化的函數定義像是函數的well-defined在一般的書是寫: for any a=b, f(a)=f(b) 但是就覺得對每個a€A, f(a)就是你定義的一個值, 當然就那一個之後遇到例子《f:Z_2→Z, f([x]) = x》, 才又知道well-defined這點是需要的因為可能"a=b但是a,b長相不同", 不過以Z_2來說, [0]=[2]到底算是長相不同嗎而這些我覺得怪怪的地方在用集合論的函數定義就沒事了所以我反而這樣才放心@@ 順帶一題, 很常聽到"等號就是長相相同"這句話嚴格說來我不喜歡也是因為何謂長相相同, Z_2的[0]=[2], 左右長相一樣啊, 都是一樣的Z的子集合, 只是代表符號不一樣如此一來延伸一堆名詞: 長相, 代表符號...越來越奇怪也正是因此, 我才會覺得純符號規則(後設語言?)會不嚴謹 : : 4. 聯集定義不涉及 = ，因為那是其中一項公理。 : Axiom of Union 說給定一堆集合的集合 S ，存在一個集合 B 滿足 : 對任意 S 裡頭的集合 A 以及任意 A 裡頭的元素 x 都會在 B 裡頭。因為當初我沒用集合論, 直接反射想法是: A∪B := {x│x€A or x€B} x€A := 存在a€A 使得 a=x --(*) 才會秒說涉及等號不過之後發現我(*)對屬於的定義是錯的, 就沒事了 : : 5. Peano axiom 跟 ZF set theory 兩者沒有直接關係。 : 後者可以用來建構前者的模型，用空集合代表 0, : 然後 {0} 代表 1, {0, 1} 代表 2 依此類推下去。我以為在ZF set theory上加入Peano axiom就能定義N, Z, Q... 所以才認為Peano axiom是奠基在ZF 意思是Peano axiom配合其他數學公設基礎也能定義N, Z, Q...了? : : 6. 一個數學物件不是集合（稱為 ur-element）在 ZF Set Theory : 是不存在的，所有的符號都得編碼成某種集合去討論。 : 有的集合論會允許這樣的物件存在。在其他的數學基礎如 Martin-Lof type theory : 下則沒有這樣的困擾，只要滿足特定的形式就可以加。了解! 知道ZF中每個都是集合, 所以我才會覺得原文r大說的"可化約成ZF集合論"很重要多項式R[x]不管怎麼定義, 只要我接受ZF並且R[x]可以化約成ZF 那對我來說是舒服且嚴謹的 : : 7. 最後等式的概念，也是目前數理邏輯跟理論電腦科學中研究非常活躍的題目， : 何謂等式的證明跟等式如何計算等問題，到近幾年動用 homotopy theory : 詮釋發展 homotopy type theory 跟以 cubical sets 數學概念 : 發展的 cubical theory 是很多理論討論也充滿應用的領域，其中也有不少 : 貢獻來自傳統的數學家，像是過世沒多久的費爾茲獎得主 Vladimir Voevodsky。 : : 才不是什麼走火入魔或是哲學才會問的問題 ... 我會說走火入魔/哲學是因為像是這種: (1) 為什麼1+1=2 (2) 什麼是等號這種問題問10個人應該有9個人會露出奇特的眼光吧XDDD 我本身是會好奇這些問題的定義跟答案是什麼但是親自go through一遍證明就沒啥興趣XD : : 後面回文的部分有點亂，就不一一回應了。（飄走）謝謝x大飄過來分享(~^O^~) 除了以上回問的, 最後請教您三個問題: (1) 不同數學基礎間都不相容?(即定義自己的系統和公理後) (2) 有沒有可能A系統證明費馬最後定理是對的, 但是B證明是錯的? 還是說整數系統如果相容於A系統, 那B系統就不可能有整數系統? (3) 每種系統(可稱作集合論? ZF只是集合論的一種?)的接受度就是因人選擇無關對錯? 像是: (i) 如果(2)真的發生, 那也是看你選擇什麼系統 (ii) 我對於形式上的R[x]與等號覺得不舒服/不嚴謹那也只是我的接受度問題, 等於我不太接受後設語言覺得他不嚴謹罷了? 再次感謝回應~ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 59.102.225.191 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1637525201.A.BD6.html

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對阿! 舉我原文(E2)的例子: 嚴格說來 Z_2 := Z/~, where x,y€Z with x~y iff 2│x-y 其中: (Z , =)中, "="是集合論的等號 (Z_2, =)中, "="也是集合論的等號, 但是Z_2是那些收集等價類的集合 (E2)是問《(Z, @)合不合法, where @ 是Z上的新等號, say x@y iff x~y》經過一些討論後原本我也認同"既然都有(Z_2, =)這個嚴格的語言也不用定義新等號, 為何還要定義@" 也接受了"你要定義也可以, 只是要能化約成ZF集合論, 不然就是平行數學的基礎" 但是後來發現有理數Q, L^p空間, 我們其實都《相當於在寫(Z, @)》因為嚴格說來: (1) Q是等價類, 但是我們都直接寫 1/2 = 2/4, 但這個"="其實是"~" (2) L^p是等價類, 但是我們都直接寫 |f|_p 而不是 |[f]|_p 最後就變成好像怎樣都可以...變成接受度的問題(?

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