[中學] 問 AMC12 一題的解法

看板Math作者 (肥鵝)時間2年前 (2021/11/21 14:57), 編輯推噓10(10推 0噓 15→)
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FALL 2021 AMC12 A 25. 設 m >= 5 且為奇數 並設 D(m) 表示四元數組 (a_1, a_2 ,a_3 ,a_4) 的組數 其中 a_i 為相異的整數，1 <= a_i <= m (i=1,2,3,4) 且 m 可以整除 a_1+a_2+a_3+a_4 若有一個多項式 q(x)=c_3 x^3+c_2 x^2+c_1 x+c_0 對所有的奇數 m >= 5 滿足 D(m) = q(m)，則 c_1=？ (A) -6 (B) -1 (C) 4 (D) 6 (E) 11 由於沒有想到好作法，我直接窮舉 D(5), D(7), D(9), D(11) 然後暴力插值 但 AMC 作答時間有限，這樣肯定算不完 想問有沒有其他解法，特別是有沒有遞迴的作法 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 36.225.249.151 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1637477827.A.E27.html
推
11/21 18:52, 2年前 , 1F
這裡的相異是指完全相異嗎？
11/21 18:52, 1F
推
11/21 18:56, 2年前 , 2F
我的想法是，之所以要限制 >= 5，又對於以上的數字
11/21 18:56, 2F
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11/21 18:56, 2年前 , 3F
都相等，代表大數之後會有一定的規律，我會把 D(n+
11/21 18:56, 3F
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11/21 18:56, 2年前 , 4F
2) - D(n) 找出來
11/21 18:56, 4F
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11/21 18:57, 2年前 , 5F
只不過那個規律剛好能被三次多項式表達而已
11/21 18:57, 5F
推
11/21 19:07, 2年前 , 6F
sum 只可能是 m, 2m, 3m, 4m，估計跟 H(n,m) 有關
11/21 19:07, 6F
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11/21 19:19, 2年前 , 7F
是完全相異 其實沒有 4m 不像 H 而是像 partition
11/21 19:19, 7F
推
11/21 19:25, 2年前 , 8F
我覺得一定有規律，不然怎麼那麼剛好有多項式可以
11/21 19:25, 8F
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11/21 19:25, 2年前 , 9F
描述，想想相鄰 D 之間的關係？
11/21 19:25, 9F
推
11/21 22:55, 2年前 , 10F
不會是 4m (因為四元組元素相異)
11/21 22:55, 10F
推
11/21 23:40, 2年前 , 11F
11/21 23:40, 11F
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11/21 23:41, 2年前 , 12F
忍不住去看答案了 我發現我完全想錯方向了
11/21 23:41, 12F
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11/21 23:48, 2年前 , 13F
這個性質是不是跟group theory有關
11/21 23:48, 13F
推
11/22 01:36, 2年前 , 14F
他是不是也沒證明到 for all large n 這件事
11/22 01:36, 14F
推
11/22 02:43, 2年前 , 15F
影片沒有仔細證明。考慮Z/mZ-action on (Z/mZ)^4
11/22 02:43, 15F
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11/22 02:44, 2年前 , 16F
1(a,b,c,d):=(a+1,b+1,c+1,d+1)。每個orbit上的m個
11/22 02:44, 16F
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11/22 02:45, 2年前 , 17F
元素的總合剛好形成Z/mZ。如果m是偶數，這會是錯的
11/22 02:45, 17F
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11/22 02:45, 2年前 , 18F
所以有他所說的「對稱性」。
11/22 02:45, 18F
推
11/22 02:51, 2年前 , 19F
你也可以寫個生成函數下去算，勉強還算高中生會算的
11/22 02:51, 19F
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11/22 12:10, 2年前 , 20F
噢噢噢 懂了 這招真猛
11/22 12:10, 20F
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11/22 12:10, 2年前 , 21F
不用 for large n 其實 group theory 也不用
11/22 12:10, 21F
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11/22 12:10, 2年前 , 22F
用同餘就可以了 只是很難想到的想法
11/22 12:10, 22F
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11/22 12:11, 2年前 , 23F
以前也是有學過類似題啦但不熟 沒往這方面想
11/22 12:11, 23F
推
11/22 12:48, 2年前 , 24F
蘋果大要不要用回文的方式再把同餘的概念統整一遍
11/22 12:48, 24F
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11/22 12:48, 2年前 , 25F
呢？這樣才能方便想知道的人了解其細節
11/22 12:48, 25F
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