Re: [線代] 對角矩陣的轉換
※ 引述《Lanjaja ()》之銘言:
: 標題: [線代] 對角矩陣的轉換
: 時間: Mon Oct 25 22:52:16 2021
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: 請教一下各位先進,
: 如果有一個方陣A可以對角化為矩陣D = (P^(-1))DP,
: 有沒有可能存在其他的某Q,一樣可以對角化D' = (Q^(-1))AQ,
: 但是得到的是D'卻不等於D?
不用限制P,Q 就得到了 D'跟D只會差別在順序
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: 這裡說的不等於是在排除以下2種狀況及其組合後仍然不相等。
: 1.Q只是P的行向量各自乘以某個常數
: 2.Q只是P的行向量做順序的改變
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: 如果在排除以上情況後具有一定程度的唯一性,
: 想請問各位先進應該要如何證明?
: 感謝先進的指導~
<Theorem> Let A, P, Q, D, T€M_nxn(F), F is a field
s.t. (1) P, Q are invertible
(2) D, T are diagonal, say D = diag{d_i} and T = diag{t_i}
(3) D = (P^(-1))AP and T = (Q^(-1))AQ
Then there exists a permutation σ:{1~n}→{1~n} s.t. d_i = t_σ(i)
pf: By (3), we have A = PDP^-1 = QTQ^-1
Hence D(P^-1Q) = (P^-1Q)T, where W:=P^-1Q is also invertible
Hence D = WTW^-1, which implies D and T have the same char. poly.
Now see char_D(x) = Π_{i=1~n} (-1)^n (x-d_i)
char_T(x) = Π_{i=1~n} (-1)^n (x-t_i)
It's easy to check d_i = t_σ(i) for some permutation σ
(ex: For (x-d_1)(x-d_2) = (x-t_1)(x-t_2) for all x€F
Let x = d_1, then one of t_i is d_1, say t_1 = d_1
Hence (x-d_1)(x-d_2) = (x-d_1)(x-t_2) for all x€F
Hence (x-d_2) = (x-t_2) for all x€F-{d_1}
and so on...)
也就是說, 不論重根或是finite field, 都可以得出這個結論
而如果以固有空間來看, 第一組的AP = PD已經決定了F^n空間的分割方式與
固有值的所有可能性, 也就是說, 如果今天t是一個固有值, 即Av=tv for some v!=0
那把v寫成Σa_i*p_i, 我們有AΣa_i*p_i = tΣa_i*p_i
進而得到 Σa_i*d_i*p_i = tΣa_i*p_i
而由線性獨立得到 a_i*d_i = t*a_i for all i
而因為v!=0所以至少有個i使得a_i!=0, 因此我們有t = d_i for some i
也就是說, 你找不到其他的固有值了
也因此你不管是d_i還是t_i, 單純只是順序的不同, 展開的固有空間一定一樣
因為固有空間只跟固有值有關, 跟順序無關
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 59.102.225.191 (臺灣)
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※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 10/26/2021 00:30:14
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是不是沒有要問D'跟D的關係而是其他關係XD??
※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 10/26/2021 08:17:45
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