Re: [分析] 傅立葉轉換前後有緊緻支撐則幾乎為零

看板Math作者jack7775kimo (阿龐)時間4年前 (2021/10/08 06:08)推噓3(3推 0噓 9→)

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剛好有在Stein-Shakarchi第一本做過, 這個結果可以視為某種Uncertainty principle Proof : We may assume f is compactly supported in [0, 1/2]. then f(x) ~ Fourier "series" of f. Note that 1. the Fourier coefficients of f (over T = [0, 1]) equal to the Fourier transform f^ (over R). 2. By 1. and the fact that f^ is also compactly supported, the above Fourier series is actually a finite sum, that is, a trigonometric polyonomial g(x) 3. From uniqueness theorem of Fourier series, f(x) = g(x) in [0,1]. Unless f is a zero function, f has a finite number of roots in [0,1] and hence cannot be compactly supported in [0,1/2]. Done. Remark: 印象中 f^的假設可以放寬成exponential decay, 證明的套路應該是利用 inversion formula去得到f的real analyticity ※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言： : 因為在訊號處理的資料看到: : 1. 有限時域的訊號做傅立葉轉換後必為無限頻域(除了0訊號) : 2. 有限頻域的訊號做反傅立葉轉換後必為無限時域(除了0訊號) : 所以標題所述應該是對的, 只是脫離實分析太久沒有idea QQ : 以下用嚴格數學描述, 再請教如何證明了, 謝謝！ : ============================================================= : <Theorem>(想證) : 令 f:R→C∪{+-∞} 為一定義在實數的複值函數 : 且 f€L^1(R) : 令 F(x):= ∫ f(t)*exp(-2πi*x*t)dt for all x€R : R : 若 f與F均有compact support : 則 f = 0 almost everywhere : ============================================================== : P.S. : (1) 傅立葉跟反傅立葉只差在負號, 所以<Theorem>對的話就好 : (2) 寫了一下發現 "f:R→R∪{+-∞}" 的版本如果對也不能推得 "f:R→C∪{+-∞}" : 的版本是對的, 所以才直接把條件寫成複值函數 : (3) 剛剛證出說, 若f(x)是連續函數且微分可以搬進去積分裡(原條件可自然推得) : 那藉由一直微分就可以用Weierstrass Approximation定理證明結論了 : 因此看有沒有不要那麼強的條件@@? : (4) 承(3), 如果有弱一點的Weierstrass Approximation定理就證完<Theorem>了: : --------------------------------- : b : 若 ∫f(x)x^n = 0 for all n>=0 : a : 則 f = 0 almost everywhere : --------------------------------- : 也就是說, 照一直微分的解法中, 如果上述成立, 那就證完了 : 因此好奇上述成不成立? : 謝謝幫忙~~ -- -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 223.136.224.251 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1633644512.A.003.html

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