[分析] 傅立葉轉換前後有緊緻支撐則幾乎為零
因為在訊號處理的資料看到:
1. 有限時域的訊號做傅立葉轉換後必為無限頻域(除了0訊號)
2. 有限頻域的訊號做反傅立葉轉換後必為無限時域(除了0訊號)
所以標題所述應該是對的, 只是脫離實分析太久沒有idea QQ
以下用嚴格數學描述, 再請教如何證明了, 謝謝！
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<Theorem>(想證)
令 f:R→C∪{+-∞} 為一定義在實數的複值函數
且 f€L^1(R)
令 F(x):= ∫ f(t)*exp(-2πi*x*t)dt for all x€R
R
若 f與F均有compact support
則 f = 0 almost everywhere
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P.S.
(1) 傅立葉跟反傅立葉只差在負號, 所以<Theorem>對的話就好
(2) 寫了一下發現 "f:R→R∪{+-∞}" 的版本如果對也不能推得 "f:R→C∪{+-∞}"
的版本是對的, 所以才直接把條件寫成複值函數
(3) 剛剛證出說, 若f(x)是連續函數且微分可以搬進去積分裡(原條件可自然推得)
那藉由一直微分就可以用Weierstrass Approximation定理證明結論了
因此看有沒有不要那麼強的條件@@?
(4) 承(3), 如果有弱一點的Weierstrass Approximation定理就證完<Theorem>了:
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b
若 ∫f(x)x^n = 0 for all n>=0
a
則 f = 0 almost everywhere
---------------------------------
也就是說, 照一直微分的解法中, 如果上述成立, 那就證完了
因此好奇上述成不成立?
謝謝幫忙~~
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