[線代] 為什麼一個 VS 必定存在 basis 要證明？

看板Math作者 (God of Computer Science)時間2年前 (2021/10/05 15:27), 編輯推噓7(7推 0噓 15→)
留言22則, 5人參與, 2年前最新討論串1/2 (看更多)
如題，我的構想是，先把 vector space 內的每個 vector 都納入 generating set， 接著再從 generating set 之內每次排除掉一個可以表成 set 內其他 vector 的線性 組合的 vector，這樣子逐步限縮，不就可以得到一個 linearly independent 的 generating set，也就是 basis 了嗎？ 那為什麼聖經本第 1.7 節還要特地討論這件事情呢？ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.109.18.242 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1633418830.A.B39.html
推
10/05 16:00, 2年前 , 1F
除了finite dimensional vector space over finit
10/05 16:00, 1F
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10/05 16:00, 2年前 , 2F
e field，你的排除法在有限步驟內排不乾淨。
10/05 16:00, 2F
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10/05 16:30, 2年前 , 3F
所以如果不要求線性獨立，只要證明 generating set
10/05 16:30, 3F
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10/05 16:30, 2年前 , 4F
存在的話是可以的囉？
10/05 16:30, 4F
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10/05 16:32, 2年前 , 5F
我的意思是，每個 VS 都存在一個 generating subset
10/05 16:32, 5F
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10/05 16:32, 2年前 , 6F
這件事情應該是 trivial 的，不用證明？
10/05 16:32, 6F
推
10/05 19:17, 2年前 , 7F
對 VS 來說，自身是一個過於 trivial 的 gen. set。
10/05 19:17, 7F
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10/05 19:17, 2年前 , 8F
雖然按定義還是得驗證一下的。然後下一個還是很
10/05 19:17, 8F
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10/05 19:19, 2年前 , 9F
trivial 但又比較 non-trivial 的是 V-{0}。
10/05 19:19, 9F
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10/05 19:19, 2年前 , 10F
我覺得都不算未證自明。
10/05 19:19, 10F
推
10/05 19:31, 2年前 , 11F
"Trivial" 的意思是"證明簡單"，不是不用證明
10/05 19:31, 11F
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10/05 19:31, 2年前 , 12F
在數學裡面不用證明的只有公設
10/05 19:31, 12F
推
10/05 20:47, 2年前 , 13F
有些VS沒有countable basis 只有uncountable
10/05 20:47, 13F
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10/05 20:48, 2年前 , 14F
這種相關的理論是functional analysis的範疇
10/05 20:48, 14F
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10/05 20:49, 2年前 , 15F
uncountable basis 的話G-S process也不太有意義
10/05 20:49, 15F
推
10/05 21:02, 2年前 , 16F
當你覺得Trivial的時候，不妨把證明寫寫看
10/05 21:02, 16F
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10/05 21:02, 2年前 , 17F
"Every vector space has a basis" 這個我一點也
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10/05 21:02, 2年前 , 18F
不覺得很trivial
10/05 21:02, 18F
推
10/05 23:48, 2年前 , 19F
minimal gen. set 跟 maximal l. indep. set 都是
10/05 23:48, 19F
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10/05 23:48, 2年前 , 20F
絕對 non-trivial。
10/05 23:48, 20F
推
10/06 00:48, 2年前 , 21F
你的方法是構造性 你覺得可行的話試試看證明
10/06 00:48, 21F
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10/06 00:48, 2年前 , 22F
real value function space的basis存在
10/06 00:48, 22F
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