Re: [線代] 為什麼一個 VS 必定存在 basis 要證明?
看板Math作者alan23273850 (God of Computer Science)時間1年前 (2022/05/20 21:25)推噓9(9推 0噓 37→)留言46則, 4人參與討論串2/2 (看更多)
※ 引述《alan23273850 (God of Computer Science)》之銘言:
: 如題,我的構想是,先把 vector space 內的每個 vector 都納入 generating set,
: 接著再從 generating set 之內每次排除掉一個可以表成 set 內其他 vector 的線性
: 組合的 vector,這樣子逐步限縮,不就可以得到一個 linearly independent 的
: generating set,也就是 basis 了嗎?
: 那為什麼聖經本第 1.7 節還要特地討論這件事情呢?
大家好,小弟剛把聖經本第 1.7 節啃完,大概知道它的證明是怎麼 run 的了。
首先利用 maximal principle:在一個 set 的 family 裡面,如果每個 chain 都存在
各自的 maximal element,那整個 family 便存在一個 universal 的 maximal element.
Q1. 這裡正確性我覺得有點不太直覺,需要大神指點迷津。
假設 maximal principle 成立,那我們 claim 所有包含空集合的線性獨立子集之中,
每個 chain 取每個 element 的聯集,當然能包含每個 element,而且還能證明該聯集
也會線性獨立,因為任取有限個向量出來都一定會被最後面那個向量所屬的線性獨立集合
所包含,那 vector space 皆滿足 maximal principle,便存在 maximal 線性獨立子集,
而這就是 basis 了。
Q2. 這個證明沒辦法和例如多項式空間的基底可為 {1, x, x^2, x^3, ...} 的證明連結
起來,此外,課本說無限維度的向量空間基底數量都有相同的 cardinality,那應該就是
countable 個,這裡我也不懂。
有人能幫忙指點迷津嗎?
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.109.20.138 (臺灣)
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