[機統] 河邊撿石頭問題，撿到最大顆的機率？
河道上有 n 個石頭，依序去看，看到一顆你覺得最大顆的石頭就撿，
只有一次機會，只能撿一顆，放棄的石頭不能回頭撿
用什麼方法撿，可以盡可能讓撿到的石頭是最大顆的？
解法A：
先看完前 n/2 顆石頭，後 n/2 顆石頭只要遇到比前 n/2 顆都大的話就撿
假設有 n 顆石頭，第二大顆出現在前一半的機率是 50%，
最大顆出現在後一半的機率是 50%
所以這個策略共有 50%*50% = 25% 的機率撿到最大顆
最近看過有影片在討論這個問題 https://www.youtube.com/watch?v=GXjlYWw7ZPI
裡面也有完整算式導出答案是 37%
不過從這個影片回頭檢視解法A的策略
假設最大顆出現在第 (n/2)+1 顆，機率 1/n*( (n/2)/(n/2 ))
： (n/2)+2 ： 1/n*( (n/2)/(n/2 + 1 ))
： (n/2)+3 ： 1/n*( (n/2)/(n/2 + 2 ))
： ：
： ：
假設最大顆出現在第 (n/2)+(n/2) 顆，機率 1/n*( (n/2)/(n/2 + (n/2 - 1) ))
故採解法 A 的策略，撿到最大顆的機率為上面所有機率加總
即
1/2 * (1/(n/2) + 1/(n/2+1) + 1/(n/2+2) + ... + 1/(n-2) + 1/(n - 1))
= 1/2 * (ln(n) - ln(n/2))
= 1/2 * ln(2)
= 0.3465...
也就是 34.7% 的機率
為什麼策略A用兩種不同的思路算機率，會得出差異如此大(25% vs 34.7%)的結果？
有人可以協助點出算出 25% 的盲點嗎？
謝謝 m(_ _)m
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！！懂了！！
原來有這個盲點！太感謝了m(_ _)m
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降子變因不會太多嗎？我針對你針對我的策略擬定新的策略降子？
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