[其他] TC題 (1) 多項式/微積分

看板Math作者 (肥鵝)時間4年前 (2020/05/11 20:42), 4年前編輯推噓15(15推 0噓 37→)
留言52則, 8人參與, 4年前最新討論串1/2 (看更多)
Problem 1 Γ1 為三次實係數多項式 y = f(x) 有三根 -1, 0, 1, 首項係數為正 Γ2 是 Γ1 以原點為軸心 逆時針旋轉 90 度的圖形 已知 Γ1 和 Γ2 相切於 4 點 求兩圖形圍成的面積（紅色區域） https://i.imgur.com/EIXV42t.jpg
註：本題不算真的有高中解法 　　因為使用「高中解法」解出的高中生 　　未必知道自己已經超出範圍了XD 　　簡單來說，就是有個看起來像高中，但其實不是的做法 ======================================================= 大家好，接下來我打算在 ptt 貼一系列的數學題目 這些題目通常在 FB 會先貼一次，之後修改整理到這裡 ‧題目來源？ 　多數是我的個人創作，最遠可以追溯到高中時期。 　少數是別的地方看到的好題目，也可能出了雷同題。 　 ‧為什麼要出題目？ 　個人興趣吧。 　一是為了表達對數學的看法、欣賞數學的美感 　有些題目光從敘述，就能體會到出題老師的用心 　能夠看出出題老師到底想要考什麼，怎麼考 　我很希望自己是這樣的出題老師，用題目來說話 　 　二是為了搞寫題目的人（欸 　看到有人掉進預設陷阱的時候很舒壓（不是 　 　所以我自己出的題目大致上有兩種 　一種是題目本身或是解法很酷的題目 　另一種是挖好坑等人跳的題目 ‧題目範圍？ 　偶爾微妙的超出高中一點點，遠不及競試題。 　儘管我自己會拿超出範圍的技術來出題， 　但我會確認至少有一個高中生看得懂的解法 　不過在不在範圍內就難說了XD ‧系列詳細 　本系列每天晚上會出一篇，直到我手上沒庫存為止 　（但不排除會耍廢忘記出） 　三天之後，如果有空，我會打一篇參考解答（為了 P 幣） 　無論題目難度如何， 　第一個回答正確答案的人，將贈予 100P 　解法不限，用程式爆，網路抄答案，或是神骰大人都行 　歡迎提供任何建議，特別是有關出題方面的。 　可以猜猜看為什麼要這樣出題，或是有什麼學生常見迷思 　有陷阱可以挖一定要告訴我ow o -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 101.12.68.12 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1589200950.A.487.html
推
05/11 21:32, 4年前 , 1F
推一個！感謝大神分享數學之美
05/11 21:32, 1F
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05/11 21:50, 4年前 , 2F
推
05/11 21:50, 2F
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05/11 21:53, 4年前 , 3F
想借問一下為什麼叫 TC 題
05/11 21:53, 3F
不 我也不知道可以叫什麼...需要一個名字qw q ※ 編輯: TimcApple (101.12.68.12 臺灣), 05/11/2020 22:53:13
推
05/12 01:28, 4年前 , 4F
給出一個不太完整的解答
05/12 01:28, 4F
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05/12 01:29, 4年前 , 5F
令y=ax(x-1)(x+1) 旋轉90度可得-x=ay(y-1)(y+1)
05/12 01:29, 5F
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05/12 01:29, 4年前 , 6F
兩式相除消去a可得x^2(x^2-1)+y^2(y^2-1)=0
05/12 01:29, 6F
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05/12 01:30, 4年前 , 7F
將y=ax(x-1)(x+1)代入上式並提出公因式可得
05/12 01:30, 7F
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05/12 01:31, 4年前 , 8F
1+(a^2*x^2-a^2)(a^2*x^6-2a^2*x^4+a^2*x^2-1)=0
05/12 01:31, 8F
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05/12 01:32, 4年前 , 9F
做代換x^2=t a^2=b代入得
05/12 01:32, 9F
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05/12 01:33, 4年前 , 10F
https://reurl.cc/kdnLa3 為一個四次方程，可觀察
05/12 01:33, 10F
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05/12 01:35, 4年前 , 11F
b>8-> a^2>8 a必須滿足某些條件才畫得出四點相交圖
05/12 01:35, 11F
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05/12 01:36, 4年前 , 12F
觀察t有四組解因四次方程，且必有兩正根，將t取sqrt
05/12 01:36, 12F
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05/12 01:37, 4年前 , 13F
可得x之四根，取x的第三大之根位在第三象限
05/12 01:37, 13F
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05/12 01:37, 4年前 , 14F
將第三象限積分*4可得全部面積
05/12 01:37, 14F
推
05/12 01:45, 4年前 , 15F
第三象限面積為int[-1，x3](ax^3-ax)dx+1*(-x3)+
05/12 01:45, 15F
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05/12 01:46, 4年前 , 16F
int[1，a(x_3)^3-ax_3](-ay^3+ay-x_3)dy
05/12 01:46, 16F
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05/12 01:48, 4年前 , 17F
x_3為負，為t兩正根開根號出來4個x的根x1x2x3x4
05/12 01:48, 17F
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05/12 01:48, 4年前 , 18F
第三大根
05/12 01:48, 18F
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05/12 02:41, 4年前 , 19F
想問樓主舊帳號怎麼了?
05/12 02:41, 19F
推
05/12 05:09, 4年前 , 20F
最後有一個三次方程繞不掉，答案也並不美觀吔。
05/12 05:09, 20F
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05/12 07:07, 4年前 , 21F
之前有一陣子有點事 一直沒上 ptt 就自己註銷了
05/12 07:07, 21F
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05/12 07:10, 4年前 , 22F
啊 沒注意這個問題 本題稍微嚴格一點
05/12 07:10, 22F
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05/12 07:12, 4年前 , 23F
本題的答案是高中生覺得舒服的樣子XD
05/12 07:12, 23F
推
05/12 08:40, 4年前 , 24F
這題多項式係數無限多種，答案真會固定???
05/12 08:40, 24F
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05/12 09:45, 4年前 , 25F
因為有給定三根 實際上只有首項係數未知
05/12 09:45, 25F
推
05/12 09:47, 4年前 , 26F
如果有別的差異很大的解法，還滿佩服想出來的人
05/12 09:47, 26F
推
05/12 09:49, 4年前 , 27F
3*sqrt(3/2) ?
05/12 09:49, 27F
正解 今晚會用電腦轉 100P c大的解法其實只差一步（找到a） 50P 如果還有人給出其他解法 會斟酌給一些
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05/12 09:49, 4年前 , 28F
根據圖形變化 很容易確定有唯一解
05/12 09:49, 28F
推
05/12 09:54, 4年前 , 29F
喔喔我有想法了~~
05/12 09:54, 29F
推
05/12 11:09, 4年前 , 30F
想了一下還是解不出簡單形式，等解答好了~~
05/12 11:09, 30F
推
05/12 11:29, 4年前 , 31F
稍微花了一點時間打成長圖
05/12 11:29, 31F
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05/12 11:29, 4年前 , 32F
05/12 11:29, 32F
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05/12 11:34, 4年前 , 33F
意外的中間過程連三次式都不用解, 只要解(雙)二次式
05/12 11:34, 33F
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05/12 11:39, 4年前 , 34F
突然發現 (5) 和 (6) 的合併可以直接這樣接
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05/12 11:40, 4年前 , 35F
4 u^2 v^2 = u^2 + v^2 = u^4 + v^4 然後解雙二次
05/12 11:40, 35F
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05/12 11:40, 4年前 , 36F
這樣就省去 (5) 引入的倒數那一步了
05/12 11:40, 36F
推
05/12 11:52, 4年前 , 37F
把這樣接的做法寫詳細在這裡了:
05/12 11:52, 37F
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05/12 11:52, 4年前 , 38F
05/12 11:52, 38F
推
05/12 13:19, 4年前 , 39F
我是用mathematica算的 (遮臉) ，不過基本上只要解
05/12 13:19, 39F
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05/12 13:19, 4年前 , 40F
二次式沒錯。
05/12 13:19, 40F
推
05/12 16:16, 4年前 , 41F
剛看了一下，要怎麼證明那四個點是切點呢？
05/12 16:16, 41F
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05/12 16:19, 4年前 , 42F
應該說，為了讓他們是切點，a 值唯一？
05/12 16:19, 42F
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05/12 16:45, 4年前 , 43F
題目要求他們是切點 於是會發現只有一個a符合要求
05/12 16:45, 43F
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05/12 17:24, 4年前 , 44F
乾乾乾 我沒看到 Γ1 和 Γ2 相切於 4 點 這句話...
05/12 17:24, 44F
推
05/12 17:27, 4年前 , 45F
如果把ax(x^2-1)叫做f(x)的話，
05/12 17:27, 45F
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05/12 17:27, 4年前 , 46F
要解的方程挺好看的：f(f(x))=-x,f'(f(x))f'(x)=-1
05/12 17:27, 46F
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05/12 17:49, 4年前 , 47F
我誤會出題大大 TimcApple 的意思了...
05/12 17:49, 47F
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05/12 17:50, 4年前 , 48F
原來 根據圖形變化 很容易確定有唯一解 這句是指 a
05/12 17:50, 48F
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05/12 17:52, 4年前 , 49F
不是指面積 嘔嘔嘔嘔嘔
05/12 17:52, 49F
chemmachine, sunev, LPH66 已轉 ※ 編輯: TimcApple (101.12.68.12 臺灣), 05/12/2020 21:27:16
推
05/12 21:31, 4年前 , 50F
收到。話說我少了切線條件所以一定四次，在我的b可
05/12 21:31, 50F
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05/12 21:33, 4年前 , 51F
證必等於8，小於8是虛根，大於8，t會有4個以上增根
05/12 21:33, 51F
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05/12 21:33, 4年前 , 52F
如此x會有4個以上不等於0的根，矛盾。
05/12 21:33, 52F
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