Re: [其他] TC題 (1) 多項式/微積分
這一題真的滿有趣的，分享一下我的作法
由題目假設f(x)=ax(x^2-1)，以下求出a使得圖形滿足相切條件，並解出交點坐標。
由旋轉對稱性知兩曲線切於(u,v) (-v,u),(-u,-v),(v,-u)，此外兩曲線又交於原點。
考慮兩曲線之方程式y=f(x), -x=f(y)
聯立可得 u, -u, v, -v, 0 都是 R(x)= f(f(x)) + x 之根
事實上R是9次式，由相切的條件知道所有的根就是u,u,-u,-u, v,v,-v,-v,0
因 R(x) = a*(ax(x^2-1))(a^2 x^2 (x^2-1)^2 - 1 ) + x
把x除掉之後，令t=x^2-1，則
4次式 g(t)=a^2t(a^2(t+1)t^2-1)+1的根為u^2-1, u^2-1, v^2-1, v^2-1
換言之 g(t) = 1-a^2t + 0t^2 + a^4t^3 + a^4t^4 為完全平方式可設為(1+?t+?t^2)^2
t^2係數為0，可得g(t) = (1-2st-2s^2t^2)^2 for some s
比較其他係數可得 a=sqrt(8), g(t)=(1-4t-8t^2)^2
其中u^2-1, v^2-1 為 1-4t-8t^2之2根 (-1+-sqrt(3)/4)
u,v = sqrt(3+-sqrt(3))/2
※ 引述《TimcApple (肥鵝)》之銘言：
: Problem 1
: Γ1 為三次實係數多項式 y = f(x)
: 有三根 -1, 0, 1, 首項係數為正
: Γ2 是 Γ1 以原點為軸心 逆時針旋轉 90 度的圖形
: 已知 Γ1 和 Γ2 相切於 4 點
: 求兩圖形圍成的面積（紅色區域）
: https://i.imgur.com/EIXV42t.jpg
: 註：本題不算真的有高中解法
: 因為使用「高中解法」解出的高中生
: 未必知道自己已經超出範圍了XD
: 簡單來說，就是有個看起來像高中，但其實不是的做法
: =======================================================
: 大家好，接下來我打算在 ptt 貼一系列的數學題目
: 這些題目通常在 FB 會先貼一次，之後修改整理到這裡
: ‧題目來源？
: 多數是我的個人創作，最遠可以追溯到高中時期。
: 少數是別的地方看到的好題目，也可能出了雷同題。
:
: ‧為什麼要出題目？
: 個人興趣吧。
: 一是為了表達對數學的看法、欣賞數學的美感
: 有些題目光從敘述，就能體會到出題老師的用心
: 能夠看出出題老師到底想要考什麼，怎麼考
: 我很希望自己是這樣的出題老師，用題目來說話
:
: 二是為了搞寫題目的人（欸
: 看到有人掉進預設陷阱的時候很舒壓（不是
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: 所以我自己出的題目大致上有兩種
: 一種是題目本身或是解法很酷的題目
: 另一種是挖好坑等人跳的題目
: ‧題目範圍？
: 偶爾微妙的超出高中一點點，遠不及競試題。
: 儘管我自己會拿超出範圍的技術來出題，
: 但我會確認至少有一個高中生看得懂的解法
: 不過在不在範圍內就難說了XD
: ‧系列詳細
: 本系列每天晚上會出一篇，直到我手上沒庫存為止
: （但不排除會耍廢忘記出）
: 三天之後，如果有空，我會打一篇參考解答（為了 P 幣）
: 無論題目難度如何，
: 第一個回答正確答案的人，將贈予 100P
: 解法不限，用程式爆，網路抄答案，或是神骰大人都行
: 歡迎提供任何建議，特別是有關出題方面的。
: 可以猜猜看為什麼要這樣出題，或是有什麼學生常見迷思
: 有陷阱可以挖一定要告訴我ow o
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代數幾何觀點！
Algebro-Geometrical Aspect!
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※ 編輯: LimSinE (219.85.0.164 臺灣), 05/12/2020 22:34:25
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